「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 039

No.01365　バラツキの掛け算割り算　　【MT】　2006/10/19(Thu) 20:19

初めて投稿致します。よろしくお願い致します。
3つのパラメータA，B，Cの平均値xと標準偏差σがデータとして分かっていて，
それぞれに独立だといえる場合，そのパラメータを用いて算出されるD(＝A*B/C)の
平均値とバラツキを評価したいのですが，どのように扱えばよいのでしょうか？
自分がやった方法は，モンテカルロ法を用いて，A，B，Cをそれぞれの分布で乱数を発生させ，
n数を増やし，その時のDをn数分算出し，結果の平均値とバラツキを評価したのですが，
場当たり的な感じがして，すっきりしません。
足し算の時は二乗和の平方根という考え方があると思いますが，
積算除算の時は用いられる考え方はあるのでしょうか？

No.01368　Re: バラツキの掛け算割り算　　【青木繁伸】　2006/10/19(Thu) 21:27

掛算と割り算については，この掲示板（前とその前の前の掲示板でも）に何回も出てきて，うんざりするほどです。
表すことはできないということであきらめてください。

No.01369　Re: バラツキの掛け算割り算　　【MT】　2006/10/19(Thu) 22:11

早速の回答有難うございます。
ご指摘の掲示板(下欄の[2]～[4]当たり)を探しましたが，見つかりませんでした。恐れ入りますが，参照先を教えて頂ければ幸いです。(表す事が出来ないという内容だけかもしれませんが，，，)
それでも，D値の評価をしなければならない場合，私の行ったモンテカルロ法は妥当なのでしょうか？ちなみに，A，B，Cはn=50～100，Dはn=1000で算出し，それっぽいバラツキは出てきました。直接Dを測定出来れば，このような議論にはならないのですが。。。
また，単純には，σから範囲を規定し(例えば±6σ)，分母の最大値と分子の最小値で計算すれば，Dの最大値は出てきますが，これでは，足し算での単純和と同じで，バラツキが大きすぎて最適な設計が出来ないと感じています。これについても見解あればお聞かせ下さい.
ちなみに，べき乗(Ex.D＝A＾B)や対数等も表す事が出来ないんですよね？
複数の問いかけで恐縮ですが，よろしくお願い致します。

No.01372　Re: バラツキの掛け算割り算　　【青木繁伸】　2006/10/20(Fri) 08:48

思いつくキーワードで検索してみると，以下のものが出てきました。
もっとあったと思うのは，幻想だったか。。。

独立な2つのデータの商の分散値
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc011/130.html

比の標準偏差
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc031/04994.html

分散の合成
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc016/220.html

r1/(r1*r2+r1*r3+r2*r3) の分散の計算結果
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc034/07479.html

2種の平均値から別の平均値を求める
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc025/055.html

標準偏差について
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc016/267.html

No.01386　Re: バラツキの掛け算割り算　　【のね】　2006/10/20(Fri) 23:22

　過去ログ(7490～)にも載っていますが，「誤差の伝播則」だと思います。一般的に表すと，
y = f(x1, x2, ... , xn)
であれば，Var(y) = <ey^2> = <(y-mean(y))^2> (<...>は平均を表す）は
Var(y) ≒ (∂f/∂x1)^2*Var(x1) + (∂f/∂x2)^2*Var(x2) + ...
で表されます。
　具体的には，y = x1^m1 * x2^m2... ならば
Var(y)/y^2 ≒ m1^2*Var(x1)/x1^2 + m2^2*Var(x2)/x2^2+...
で計算できます。この結果とシミュレーションの結果を比較してみてください。
　当然ですが，x1,x2... は互いに無相関としていますし，場合によっては |ey|<<|y| といった条件がつきます。

No.01387　Re: バラツキの掛け算割り算　　【青木繁伸】　2006/10/21(Sat) 00:05

引用するなら適切に，7490というのは
r1/(r1*r2+r1*r3+r2*r3) の，件ですね

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc034/07490.html

No.01396　Re: バラツキの掛け算割り算　　【のね】　2006/10/21(Sat) 10:33

追加
　d=a*b/c の場合だと，ma=1, mb=1, mc=-1 なので，
　　Var(d)/d^2 ≒ Var(a)/a^2 + Var(b)/b^2 + Var(c)/c^2
となります。
　私はRが使えないのでスクリプトは書けませんが，
　　a(i)=a0+正規分布乱数
　　b(i)=b0+正規分布乱数
　　c(i)=c0+正規分布乱数
　　d(i)=a(i)*b(i)/c(i)
として
　　Var(a)/a0^2 + Var(b)/b0^2 + Var(c)/c0^2
と
　　Var(d)/d0^2
を比較してみてください。個数としては10000個ぐらいは必要かも知れません。
　くれぐれも |cの誤差項|<<|c0| には注意してください。

No.01400　Re: バラツキの掛け算割り算　　【青木繁伸】　2006/10/21(Sat) 17:57

Var(d)/d0^2　の d0 の定義は?
記号がわかりにくくって，，，途中までやったところでギブアップ
> n <- 100000
> a0 <- 100; a1 <- 55
> b0 <- 30; b1 <- 4
> c0 <- 4; c1 <- 0.6
> a <- rnorm(n, mean=a0, sd=a1)
> b <- rnorm(n, mean=b0, sd=b1)
> c <- rnorm(n, mean=c0, sd=c1)
> d <- a*b/c
> var(a)/a0^2+var(b)/b0^2+var(c)/c0^2
[1] 0.3443583
> var(d)
[1] 213417.6

No.01401　Re: バラツキの掛け算割り算　　【のね】　2006/10/21(Sat) 20:59

失礼いたしました。d0=a0*b0/c0 です。
なお，先生の与えた数値では，c1<<c0を満たさないため，d の分布は若干正規分布からずれてしまうようです。
c0=40 位でお試しください。

No.01402　Re: バラツキの掛け算割り算　　【青木繁伸】　2006/10/21(Sat) 21:59

なるほど。

> n <- 1000000
> a0 <- 100; a1 <- 55
> b0 <- 30; b1 <- 4
> c0 <- 40; c1 <- 0.6
> a <- rnorm(n, mean=a0, sd=a1)
> b <- rnorm(n, mean=b0, sd=b1)
> c <- rnorm(n, mean=c0, sd=c1)
> d <- a*b/c
> (var(a)/a0^2+var(b)/b0^2+var(c)/c0^2)*(a0*b0/c0)^2
[1] 1805.736
> var(d)
[1] 1838.66

No.01403　Re: バラツキの掛け算割り算　　【青木繁伸】　2006/10/21(Sat) 22:56

制約条件等があるようなので，シミュレーションがよいようですね。