Last modified: Jun 01, 2006

例題：

　「体重を測定した結果（測定精度は 0.1kg）が表 1 のようにまとめられた（表の左２列）。このデータは正規分布に従っているといえるだろうか。」

注：母平均，母分散が既知の場合には以下の方法ではなく，名義尺度の場合 または 順序尺度以上の場合（1 標本コルモゴロフスミルノフ検定）により検定を行う。

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母分布は正規分布である」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母分布は正規分布ではない」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。

2. まず最初に，正規分布のパラメータを推定する。

   注：測定値の分布に正規分布をあてはめるときには一般に母平均，母分散がわからないので，以下のように標本値で代用しなければならない。

   1. $n$ 個のケースが，$k$ 個のカテゴリーに分類されているとする。 \[ n = \sum_{i=1}^k f_i \] 例題では，$n = 426$，$k = 9$（階級「35〜」と「75〜」は以下の計算を行うために作られたものである）。

   2. 各階級の中心点を $X_{i}$，観測度数を $f_{i}$ とする。

      例題では，測定精度が 0.1 kg なので，たとえば「50kg 以上 55kg 未満」という階級の真の限点は 49.95kg と 54.95kg である。級中心はその中点で，52.45kg である（50kg と 55kg の中点の 52.5kg ではないことに注意）。

      図 1．限点・級中心の定義

   3. 与えられた度数分布表から，母平均と母分散の推定値 $\bar{X}$，$V$ を推定する。 \[ \begin{align*} \bar{X} & = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k f_i\,X_i}{n} \\ V & = \frac{\displaystyle n\sum_{i=1}^k f_i\,X_i^2 - \left(\sum_{i=1}^k f_i\,X_i\right)^2}{n^2} \end{align*} \] 例題では，表 1 の 6 列目の合計欄の $24678.70$ を $n = 426$ で割って，$\bar{X} = 57.9312$，7 列目の合計欄の $1440893.57$ を用いて $V = 26.3528$。

   4. 第 $i$ 階級と第 $i+1$ 階級の限点を $X'_{i}$，それに対する標準化得点を $Z_{i}$ とする。 \[ Z_i = \frac{X_i'-\bar{X}}{\sqrt{V}} \] 例題では，表 1 の 8 列目。

   5. 各 $Z_{i}$ から $Z \lt Z_{i}$ となる確率 $P_{i}$ を求め（標準正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照する），差をとることにより各階級の確率 $p_{i} = P_{i} - P_{i-1}\ (i = 2, 3, \dots , k-1)$ を求める。
      $p_{1} = \Pr\{Z \lt Z_{1}\}$
      $p_{k} = 1 - ( p_{1} + p_{2} + \dots + p_{k-1} )$。

      例題では，表 1 の 9，10 列目。

3. 理論度数は，$E_{i} = n p_{i}$ となる。

   例題では，表 1 の 11 列目。

   図 2．あてはめ結果

4. 期待値が $1$ 以下のカテゴリーを併合する。併合後のカテゴリー数を m とする。

   例題では，表 1 の最初の 2 行を一つに合併し，最後の 2 行を一つに合併する。$m = 7$ である。

5. 以下の式で検定統計量を計算する。 \[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^m \frac{\left(\ f_i - E_i\ \right)^2}{E_i} \] 例題では， $\chi^2_0 = 6.000$ となる。

6. $\chi^2_0$ は，自由度が $m - 1 - 2$ の $\chi^2$ 分布に従う(母平均と母分散の推定を行ったため，自由度が $2$ だけ余分に減る。）

   例題では，自由度が $7 - 1 - 2 = 4$ の $\chi^2$ 分布に従うことになる。

7. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi^2_0\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $4$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 9.49\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 6.000\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.199$）。

8. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母分布は正規分布でないとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母分布は正規分布ではない」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「正規分布に従っていないとはいえない」。

R で計算してみる

演習問題：

応用問題：

　「知能指数 IQ の平均値は 100，標準偏差は 16 の正規分布に従うといわれる。ある集団で調査したところ表 2 のような結果であった。この集団の IQ は正規分布に従っているといえるだろうか。」

問題1　このページで説明した検定手法を使うべきか。a，b，c のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：そうに決まってる
b：いや違う
c：そう簡単に答えられるものではない

解答欄：　　　　

問題2　知能指数が 76 であるとき，標準化得点を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　知能指数が 76 未満の理論比を正規分布表から読みとり，小数点以下 5 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　$\chi^2_0$ を計算し，小数点以下 3 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題5　計算された $\chi^2_0$ は自由度がいくつの $\chi^2$ 分布に従うか。解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題6　有意確率は $0.05$ より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題7　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題8　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：正規分布に従わないとはいえない
b：正規分布に従わない

解答欄：