2 変数 A，B についてのクロス集計表（分割表）に基づき，2 変数間に関連があるかどうかを検定する。

　$\chi^2$ 分布を用いるので，「$\chi^2$ 検定」という通称を持つ。

例題：

　「表 1 において，血液型と疾患に関連があるかどうか検定しなさい。」

検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「2 変数は独立である（関連がない）」。
   • 対立仮説 $H_1$：「2 変数は独立ではない（関連がある）」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（$k \times m$ 分割表では必ず両側検定である。片側検定は理論上あり得ない。ただし，$2 \times 2$ 分割表では関連の方向性を決められるので，片側検定もあり得る）。

2. 2 個の変数 A，B がそれぞれ $k$ 個，$m$ 個のカテゴリーを持ち，$k \times m$ 個の桝目を持つ集計表を考える（表 2, 3）。

   例題では，$k = 4$，$m = 3$ である。

   表 2．$k \times m$ 分割表 要因 B $B_{1}$ $B_{2}$ $\dots$ $B_{j}$ $\dots$ $B_{m}$ 合計 要因 A $A_{1}$ $O_{1j}$ $n_{1\cdot}$ $A_{2}$ $O_{2j}$ $n_{2\cdot }$ ： ： ： $A_{i}$ $O_{i1}$ $O_{i2}$ $\dots$ $O_{ij}$ $\dots$ $O_{im}$ $n_{i\cdot }$ ： ： ： $A_{k}$ $O_{kj}$ $n_{k\cdot }$ 合計 $n_{\cdot 1}$ $n_{\cdot 2}$ $\dots$ $n_{\cdot j}$ $\dots$ $n_{\cdot m}$ $n$

   表 3．$2 \times 2$ 分割表 要因 B $B_{1}$ $B_{2}$ 合計 要因 A $A_{1}$ $a$ $b$ $e$ $A_{2}$ $c$ $d$ $f$ 合計 $g$ $h$ $n$

3. 表 2 のような $k \times m$ 分割表で，変数 A の第 $i$ カテゴリー，変数 B の第 $j$ カテゴリーの観察値を $O_{ij}$ とする。
   また，$n_{i\cdot }$ を第 $i$ 行の合計，$n_{\cdot j}$ を第 $j$ 列の合計とする。

4. 帰無仮説のもとでは，変数 A の第 $i$ カテゴリー，変数 B の第 $j$ カテゴリーの期待値は次式で表される。 \[ E_{ij} = \frac{n_{i\cdot}\ n_{\cdot j}} {n} \] 例題では，O 型の胃癌患者の期待値は，$E_{32} = 50\cdot 30 / 163 = 9.202$ 等のように計算される。

5. 全ての桝目について $\displaystyle \frac {( O_{ij} - E_{ij} ) ^{2}} {E_{ij}}$ の合計をとったものを $\chi^2_0$ とする。 \[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m \frac{\left( O_{ij}-E_{ij} \right)^2} {E_{ij}} \] 例題では，$\chi^2_0 ≒ 13.713$ となる。
6. $\chi^2_0$ は自由度が $( k - 1 ) \times ( m - 1 )$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   例題では，自由度は $( 4 - 1 ) \times ( 3 - 1 ) = 6$ である。

7. 有意確率を $P= \Pr\{ \chi^2 \geqq \chi^2_0 \}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $6$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 12.59\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 13.713\}\lt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.03301$）。

8. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「$2$ 変数は独立でないとはいえない（関連があるとはいえない）」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「$2$ 変数は独立ではない（関連がある）」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「血液型と疾患の間に関連がある」と結論する（架空例であったことを思い出してくださいね）。

$2 \times 2$ 分割表における特別な方法

• 簡便公式：表 3 のような $2 \times 2$ 分割表における独立性の検定は，次式を用いることにより若干簡単になる。 \[ \chi^2_0 = \frac{n\ (a\, d-b\, c)^2} {e\, f\, g\, h} \]
• 連続性の補正（イエーツの補正）：分割表から得られる $\chi^2_0$ は跳び跳びの値しかとらない。一方，$\chi^2$ 分布は連続分布である。 このため，$2 \times 2$ 分割表の場合には連続性の補正をしたほうがよい。 \[ \chi^2_0 = \frac{n\ \left(\left |\ a\, d-b\, c\ \right | - n\ /\ 2 \right)^2} {e\, f\, g\, h} \] ただし，$\left |\ a\, d-b\, c\ \right | \leqq n\ /\ 2$ のときは，$\chi^2_0 = 0$ とする。

いくつかの注意点

演習問題−I：

　「13 人の学生について，自動車運転免許を持っているかどうかを調査した結果が，表 4 のようにまとめられた。男女で免許保有率に差があるかどうか検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：性別で運転免許の保有率に差はない
b：性別で運転免許の保有率に差がある

解答欄：　　　　

問題2　$\chi^2$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　求められた $\chi^2$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題5　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題6　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：性別で運転免許の保有率に差があるとはいえない
b：性別で運転免許の保有率に差がある

解答欄：　　　　

演習問題−II：

　「表 5 は，表 4 の度数をすべて 10 倍したものである。男女で免許保有率に差があるかどうか検定しなさい。」

問題1　$\chi^2$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題3　演習問題−I と II の結果を比べてみなさい。なぜこのようなことになるのか考えなさい。

R で計算してみる

解説（コメント）

演習問題−III：

　「演習問題−I および II を，「二群の比率の差の検定」を用いて解きなさい。有意確率はどのようになるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。（計算は有効桁数を十分にとり，正確な有意確率を求めるために正規分布の上側確率の計算および $\chi^2$分布の上側確率の計算を使用しなさい）

選択肢
a：誤差の範囲でほぼ同じ値になった
b：全く異なった値になった

解答欄：　　　　

解説（コメント）

応用問題：