Kaplan - Meier 法による生命表     Last modified: Nov 07, 2002

 Kaplan - Meier 法は,死亡発生ごとに生存率を計算するので(少数例の場合にも)正確な生存率を求めることができる(この方法は,積極限法とも呼ばれる)。

注: 少数例であっても生存率が正確に計算できるということであって,ケース数が多いときに用いてはならないということではない。
 例数が多いときには,Cutler - Ederer 法が使用できる。


生命表の作成

 基本的な考え方は,死亡が発生するたびに生存率を求めることから始める。

  1. 全観察対象数を $n$ として,死亡または打ち切り時間の小さい順に並べる。
    ただし,死亡時間と打ち切り時間が同値の場合には打ち切り例が後になるように注意する。
    この結果, $t_{1} \leqq t_{2} \leqq \dots \leqq t_{n}$ となったとする。

  2. $i$ 番目のケースが死亡した( 打切られた )時間 $t_{i}$ での生存率 $p_{i}$ は次式で定義される。

    \[ p_i = \left \{ \begin{align*} &\frac{n-i}{n-i+1}\ , &第 i ケースが死亡例のとき \\ &1\ , &第 i ケースが打切り例のとき \end{align*} \right . \]

  3. 時点 $t_{i}$ までの累積生存率 $P_{i}$ は次式で定義される。

    \[ P_i = p_1\ p_2 \dots p_i \]

  4. 累積生存率の標準誤差 $SE ( P_{i} )$ は,次式となる( 死亡のあった時点でのみ求められる )。


    \[ SE(P_i) = P_i \sqrt{\sum_{j=1}^i \frac{1}{(n-j+1)\ (n-j)}} \]

 表 1 および図 1 に例を示す。

・ R で計算してみる

表 1.Kaplan - Meier 法による生命表
 $i$   $t_{i}$ 
  $p_{i}$     $P_{i}$    $SE(P_{i})$ 
1 0 + 1.00000 1.00000
2 1 + 1.00000 1.00000
3 4
0.97143 0.97143 0.02816
4 4 + 1.00000 0.97143
5 5 + 1.00000 0.97143
6 6
0.96875 0.94107 0.04046
7 6 + 1.00000 0.94107
8 8
0.96667 0.90970 0.04981
9 9 + 1.00000 0.90970
10 9 + 1.00000 0.90970
11 9 + 1.00000 0.90970
12 11 + 1.00000 0.90970
13 15
0.96000 0.87331 0.05964
14 16 + 1.00000 0.87331
15 19
0.95652 0.83534 0.06807
16 19 + 1.00000 0.83534
17 21
0.95238 0.79557 0.07557
18 23 + 1.00000 0.79557
19 24
0.94737 0.75369 0.08238
20 29
0.94444 0.71182 0.08780
21 30
0.94118 0.66995 0.09208
22 32
0.93750 0.62808 0.09537
23 32 + 1.00000 0.62808
24 33 + 1.00000 0.62808
25 35 + 1.00000 0.62808
26 36
0.91667 0.57574 0.10077
27 37 + 1.00000 0.57574
28 38
0.90000 0.51816 0.10587
29 44
0.88889 0.46059 0.10864
30 55
0.87500 0.40302 0.10925
31 56
0.85714 0.34544 0.10775
32 61
0.83333 (0.28787)
33 61
0.80000 0.23030 0.09788
34 64
0.75000 0.17272 0.08874
35 74
0.66667 0.11515 0.07556
36 95
0.50000 0.05757 0.05554
37 125 + 1.00000 0.05757
+は打切り例

figure

図 1.Kaplan - Meier 法による生存率曲線

生存期間の比較

 2 群の生存時間に差があるかどうかの検定として,3 通りのノンパラメトリックな手法を紹介する。

参考文献

  1. 青木繁伸, 開原成允: 生命表による生存曲線の解析 - - 医学統計学最近の話題( 2 ). 医学のあゆみ, 104 ( 9 ) , 587 - 592, 1978.

  2. 富永祐民: 治療効果判定のための実用統計学 − 生命表法の解説 − . 蟹書房, 東京, 1980.

  3. Cox, D. R.: Regression models and life tables. J. R. Stat. Soc. [B], 34 , 187 - 220, 1972.

  4. Gehan, E. A.: A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52 , 203 - 223, 1965.

  5. Kaplan, E. L. and Meier, P.: Nonparametric estimation from incomplete observations. J. Am. Statist. Assoc., 53 , 457 - 481, 1958.

  6. Mantel, N.: Evaluation of survival data and two new rank order statistics arising in its consideration. Cancer Chemother. Rep., 50 , 163 - 170, 1966.

  7. Mantel, N.: Ranking procedures for arbitrarily restricted observations. Biometrics, 23 , 65 - 78, 1967.

  8. Peto, R., Pike, M. C., Armitage, N. E. et al: Design and analysis of randomized clinical trials requiring prolonged observation of each patient. II. Analysis and examples. Br. J. Cancer, 35 , 1 - 39, 1977.


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