この検定は，打ち切り例のない場合の Wilcoxon 検定（ マン・ホイットニーの $U$ 検定と等価 ）の拡張である。

　2 群の生存時間の長さに差があるかどうかを検定する。

　A 群と B 群の全ケース数を $n_a$，$n_b$ とする。A 群，B 群の生存時間を $X_{i}$，$Y_{j}$，打ち切り例については $X_{i}'$，$Y_{j}'$ とする（ $i = 1, 2, \dots , n_a\ ;\ j = 1, 2, \dots , n_b$ ）。

　両群の生存時間を比較するとき，以下のような検定統計量を定義する。

\[ W = \sum_{i=1}^{n_a} \sum_{j=1}^{n_b} U_{ij} \] 　ただし，

\[ U_{ij} = \left \{ \begin{align*} -1 &, 　X_i \lt Y_j\ または\ X_i \leqq Y_j' \\ +1 &, 　X_i \gt Y_j\ または\ X_i' \geqq Y_j \\ 0 &, 　上記以外 \end{align*} \right . \] である。すなわち，生存時間の大小比較において，一方が打ち切り例のとき，例えば $X_{i}$ と $Y_{j}'$ の比較において，もし $X_{i} = Y_{j}'$ であった場合にも，$Y_{j}' = Y_{j} + \alpha \gt Y_{j} \gt X_{i}$ であると考える点が「一般化」の意味するところである。

　検定統計量 $W$ の平均値は 0，分散 $Var ( W )$ は次式のようになる。

\[ Var(W) = \frac{n_a\ n_b}{(n_a+n_b)\ (n_a+n_b-1)}\ \sum_{i=1}^{n_a+n_b} \left ( \sum_{j=1}^{n_a+n_b} H_{ij} \right ) ^2 \] 　ただし，$H_{ij}$ は上述の $U_{ij}$ の定義のしかたに準ずるが，2 群のケースをひとまとめにして，生存時間を $X_{i}$，$Y_{j}$，打ち切り例については $X_{i}'$，$Y_{j}'\ ( i, j = 1, 2, \dots , n_a + n_b)$ として，以下のように定義される。

\[ H_{ij} = \left \{ \begin{align*} -1 &, 　X_i \lt Y_j\ または\ X_i \leqq Y_j' \\ +1 &, 　X_i \gt Y_j\ または\ X_i' \geqq Y_j \\ 0 &, 　上記以外 \end{align*} \right . \] 　検定は，次式の $Z$ が近似的に正規分布従うことを利用する。

\[ Z = \frac{W}{\sqrt{Var{W}}} \] 　なお，上述の分散の定義は，Mantel（ 1967 ）によるものであるが，Gehan（ 1965 ）は結果は同じになるが別の定義を示している（ 青木ら（ 1978 ）にも紹介記事がある ）。

参考文献

1. 青木繁伸, 開原成允: 生命表による生存曲線の解析 - - 医学統計学最近の話題（ 2 ）. 医学のあゆみ, 104 ( 9 ) , 587 - 592, 1978.

2. Gehan, E. A.: A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52 , 203 - 223, 1965.

3. Mantel, N.: Ranking procedures for arbitrarily restricted observations. Biometrics, 23 , 65 - 78, 1967.

演習問題：

応用問題：