一元配置分散分析は，各群の分散が等しいことを前提にしている。分散の均一性をまえもって検定しておく方がよい。
　等分散でないときの平均値の差の検定によれば，「等分散を仮定しない検定法（Welch の方法の拡張）」を採用するのが良さそうである。
　等分散性を確かめてから一元配置分散分析という手順は，検定の多重性という点でも問題がある。最初から等分散を仮定しない一元配置分散分析を行う方がよい。

例題：

　「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか，有意水準 $5\%$ で検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「各群の母平均値は等しい」。
   • 対立仮説 $H_1$：「各群の母平均値は等しくない」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
     　注：意味的に両側検定である。F 分布の片側確率を使うという形式的な意味では片側検定である。

2. 群の数を $k$，全ケース数を $n$，各群のケース数を $n_j$，全体の平均値を $\bar{X}$，第 $j$ 群における平均値を $\bar{X}_j$ とする（$j=1, 2, \dots , k;\ \displaystyle \sum_{j=1}^k n_j = n$）。

3. 平方和 $S_{t}$ を求める（全体の不偏分散 $U_{t}$ が求められていれば，$S_{t} = ( n - 1 ) U_{t}$ としてもよい）。

   \[ S_t = \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij}-\bar{X})^2 \] 例題の場合は，$S_{t} = 0.6278$ である。

4. 平方和 $S_{b}$ を求める。

   \[ S_b = \sum_{j=1}^k n_j\ (\bar{X}_j-\bar{X})^2 \] 例題の場合は，$S_{b} = 0.3179$ である。

5. 平方和 $S_{w}$ を求める。$S_{w} = S_{t} - S_{b}$ の関係式から求めてもよい。

   \[ S_w = \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij}-\bar{X}_j)^2 \] 例題の場合は，$S_{w} = S_{t} - S_{b} = 0.3100$ である。

6. 表 2 に示すような分散分析表を作る。

   表 2.　一元配置分散分析表

   変動要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   群間	$S_{b}$	$df_{b} = k - 1$	$V_{b} = S_{b}\ /\ df_{b}$	$F_0 = V_{b}\ /\ V_{w}$
   群内	$S_{w}$	$df_{w} = n - k$	$V_{w} = S_{w}\ /\ df_{w}$
   全体	$S_{t} = S_{b} + S_{w}$	$df_{t} = n - 1$	$V_{t} = S_{t}\ /\ df_{t}$

   例題の場合，以下のような分散分析表を得る。

   変動要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   群間	0.3179	2	0.1589	4.6146
   群内	0.3100	9	0.0344
   全体	0.6278	11	0.0571

   $F_0 = 4.6146$ となる。

7. 検定統計量 $F_0$ は，第 $1$ 自由度が $df_{b}( = k - 1 )$，第 $2$ 自由度が $df_{w}( = n - k)$の $F$ 分布に従う。

   例題の場合，自由度は $df_{b}= 2$，$df_{w} = 9$ である。

8. 第 $1$ 自由度が $df_{b}$，第 $2$ 自由度が $df_{w}$ の $F$ 分布において，有意確率を $P = \Pr\{F \geqq F_0\}$ とする。
   $F$ 分布表（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.025$，$\alpha = 0.01$，$\alpha = 0.005$），または $F$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度が $(2, 9)$ の $F$ 分布において，$\Pr\{F \geqq 4.26\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{F \geqq 4.6146\}\lt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.0417488$）。

9. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「各群の母平均値は等しくないとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「各群の母平均値は等しくない」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「各群の平均値は等しくない」。

各群の等分散性を仮定しない場合の検定（二群の平均値の差の検定 Welch の方法の拡張）

　各群のケース数，平均値，不偏分散をそれぞれ $n_i$, $m_i$, $u_i$ として，以下のようにして計算される $F$ が，自由度 $(df_1, df_2)$ の $F$ 分布に従うことを利用する。

$w_i = \displaystyle \frac{n_i}{u_i}$

$w = \displaystyle \sum_{i=1}^k w_i$

$m = \displaystyle \frac{1}{w} \sum_{i=1}^k w_i\ m_i$

$a = \displaystyle \frac{1}{k^2-1} \sum_{i=1}^k\left \{ \frac{1}{n_i-1} \left (1-\frac{w_i}{w} \right )^2 \right \}$

$F = \displaystyle \frac{1}{(k-1)\{1+2a\ (k-2)\}} \sum_{i=1}^k w_i\ (m_i-m)^2$

$df_1 = k-1$

$df_2 = \displaystyle \frac{1}{3a}$

wi = (74.4879, 181.1594, 155.9792)
w = 411.6265
m = 3.606386
a = 0.06185509
F = 5.004541
df1 = 2
df2 = 5.388939
p = 0.05907792

演習問題：

　「$4$ つの群におけるある変数の測定値の集計結果は表 2 のようであった。母平均値に差があるといえいるか，有意水準 $5\%$ で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：各群の平均値は等しい
b：各群の平均値は等しくない

解答欄：　　　　

問題2　$F_0$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題4　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題5　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：各群の母平均値は等しくないとはいえない
b：各群の母平均値は等しくない

解答欄：　　　　

R で計算してみる

応用問題：