例題：

　「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の分散に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「各群の母分散は等しい（一様である）　$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma_k^2$」。
   • 対立仮説 $H_1$：「各群の母分散は等しくない（一様でない）　（$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma_k^2$）ではない」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
   • データが正規分布に従い，分散は互いに独立であるという二つの条件を満たす必要がある。

2. 群の数を $k$，各群の不偏分散を $U_j$，ケース数を $n_j$ とする（$j = 1, 2, \cdots, k; \displaystyle \sum_{j=1}^k n_j = n$）。

3. 以下の式で検定統計量 $\chi_0^2$ を計算する（式中の $\ln$ は自然対数である）。

   \[ \chi_x^2 = \sum_{j=1}^k (n_j-1) \ln \left \{ \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^k (n_j-1) U_j}{\displaystyle \sum_{j=1}^k(n_j-1)} \right \}-\sum_{j=1}^k (n_j-1) \ln U_j \] \[ C = 1+\frac{1}{3(k-1)} \left \{ \sum_{j=1}^k \frac{1}{n_j-1} - \frac{1}{\displaystyle \sum_{j=1}^k (n_j-1)} \right \} \] \[ \chi_0^2 = \displaystyle \frac{\chi_x^2}{C} \] 例題の場合，以下のような補助計算表を作ると計算が楽である。

   $j$	$n_j$	$U_j$	$n_j-1$	$(n_j-1)U_j$	$\ln U_j$	$(n_j-1) \ln U_j$	$1/(n_j-1)$
   群1	4	0.0537	3	0.1611	-2.9243	-8.7730	0.3333
   群2	5	0.0276	4	0.1104	-3.5899	-14.3598	0.2500
   群3	3	0.0192	2	0.0385	-3.9511	-7.9022	0.5000
   合計	12		9	0.3100	-10.4654	-31.0350	1.0833

   $\chi_x^2 = 0.7184$，$C = 1.1620$ より，$\chi_0^2 = 0.6182$ となる。

4. 検定統計量 $\chi_0^2$ は，自由度が $k - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   例題の場合，自由度は $2$ である。

5. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi_0^2\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $2$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 5.99\} = 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 0.6182\} \gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.7341$）。

6. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「各群の母分散は等しくないとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「各群の母分散は等しくない」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「各群の母分散は等しくないとはいえない」。

演習問題：

　「都道府県を 4 つに分けてそれぞれの群における癌による死亡率（人口 10 万人あたり）の集計結果は表 2 のようであった。分散に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：各群の母分散は等しい
b：各群の母分散は等しくない

解答欄：　　　　

問題2　$\chi_0^2$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　求められた $\chi_0^2$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題5　有意水準 5% で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題6　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：各群の母分散は等しくないとはいえない
b：各群の母分散は等しくない

解答欄：　　　　

R で計算してみる

応用問題：