分散の均一性の検定(バートレットの方法)  Last modified: Aug 21, 2003

例題

 「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の分散に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」

表 1.餌の種類による肝臓の重量
A餌 3.42 3.84 3.96 3.76
B餌 3.17 3.63 3.47 3.44 3.39
C餌 3.64 3.72 3.91


検定手順:

  1. 前提

  2. 群の数を $k$,各群の不偏分散を $U_j$,ケース数を $n_j$ とする($j = 1, 2, \cdots, k; \displaystyle \sum_{j=1}^k n_j = n$)。

  3. 以下の式で検定統計量 $\chi_0^2$ を計算する(式中の $\ln$ は自然対数である)。

    \[ \chi_x^2 = \sum_{j=1}^k (n_j-1) \ln \left \{ \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^k (n_j-1) U_j}{\displaystyle \sum_{j=1}^k(n_j-1)} \right \}-\sum_{j=1}^k (n_j-1) \ln U_j \] \[ C = 1+\frac{1}{3(k-1)} \left \{ \sum_{j=1}^k \frac{1}{n_j-1} - \frac{1}{\displaystyle \sum_{j=1}^k (n_j-1)} \right \} \] \[ \chi_0^2 = \displaystyle \frac{\chi_x^2}{C} \] 例題の場合,以下のような補助計算表を作ると計算が楽である。

    $j$ $n_j$ $U_j$ $n_j-1$ $(n_j-1)U_j$ $\ln U_j$ $(n_j-1) \ln U_j$ $1/(n_j-1)$
    群1 4 0.0537 3 0.1611 -2.9243 -8.7730 0.3333
    群2 5 0.0276 4 0.1104 -3.5899 -14.3598 0.2500
    群3 3 0.0192 2 0.0385 -3.9511 -7.9022 0.5000
    合計 12   9 0.3100 -10.4654 -31.0350 1.0833

    $\chi_x^2 = 0.7184$,$C = 1.1620$ より,$\chi_0^2 = 0.6182$ となる。

  4. 検定統計量 $\chi_0^2$ は,自由度が $k - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

    例題の場合,自由度は $2$ である。

  5. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi_0^2\}$ とする。
    $\chi^2$ 分布表,または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

    例題では,自由度 $2$ の $\chi^2$ 分布において,$\Pr\{\chi^2 \geqq 5.99\} = 0.05$ であるから,$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 0.6182\} \gt 0.05$ である(正確な有意確率:$P = 0.7341$)。

  6. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では,有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば($\alpha = 0.05$),$P \gt \alpha$ であるから,帰無仮説は棄却できない。すなわち,「各群の母分散は等しくないとはいえない」。

・ R で計算してみる


演習問題

 「都道府県を 4 つに分けてそれぞれの群における癌による死亡率(人口 10 万人あたり)の集計結果は表 2 のようであった。分散に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」

表 2.47 都道府県における癌死亡率

都道府県数  平均値 標準偏差
第1群 8   135.83 19.59
第2群 11   160.49 12.28
第3群 22   178.35 15.01
第4群 6   188.06 9.81
全体 47   168.17 22.40


問題1 帰無仮説はどれか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:各群の母分散は等しい b:各群の母分散は等しくない
解答欄:    

問題2 $\chi_0^2$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題3 求められた $\chi_0^2$ 検定統計量は,自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか,答えを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題4 有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:0.05 より大きい b:0.05 より小さい
解答欄:    

問題5 有意水準 5% で検定を行うとき,帰無仮説は棄却できるかできないか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:棄却できる b:棄却できない
解答欄:    

問題6 最終的な結論はどうなるか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:各群の母分散は等しくないとはいえない b:各群の母分散は等しくない
解答欄:    

・ R で計算してみる


応用問題


・ 計算プログラム [CGI(C)] [R]
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