フリードマン検定

フリードマン検定　　　　　Last modified: Nov 07, 2002

対応のあるデータにおいて，代表値間に差があるかどうかを検定する。行と列を入替えることで，被験者間に差があるかどうかを検定できる。

例題：

　「表 1 のようなデータがある。4 種の肥料間で収量に差があるか検定しなさい。」

検定手順:

前提
- 帰無仮説 H₀：「母代表値に差はない」。
- 対立仮説 H₁：「母代表値に差がある」。
- 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
r 種類の対象に c 種の処理を行い，観察値 X_ij を得たとする（i=1，2，... ，r； j=1，2，... ，c）。 r は row，c は column の略

表 2．記号の定義
被験者処理1 処理2 　…　処理c

1 X₁₁ X₁₂ … X_1c

2 X₂₁ X₂₂ … X_2c

：：：：：

r X_r1 X_r2 … X_rc

例題では，r = 3，c = 4 である。
各被験者ごとに観察値 X_i1 ， X_i2 ， ... ， X_ij ， ... ， X_ic の小さい順に順位 O_ij（1 ≦ O_ij ≦ c）をつける（同順位がある場合には平均順位をつける）。

表 3 に示すように，各処理ごとに順位の和 R_j を計算する。

検算：

例題の場合，表 4 のようになる。

次式により検定統計量を求める。χ²₀ は，自由度が c - 1 の χ² 分布に従う。

例題では， χ²₀ = 7.0 であり，自由度 3 の χ² 分布に従う。
有意確率を P = Pr｛χ² ≧ χ²₀｝とする。
χ²分布表，または χ² 分布の上側確率の計算を参照すること。
例題では，自由度 3 の χ² 分布において，Pr｛χ² ≧ 7.81｝= 0.05 であるから，P = Pr｛χ² ≧ 5.5｝＞ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.072）。
帰無仮説の採否を決める。
- P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「処理の差があるとはいえない」。
- P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「処理の差がある」。
例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＞ α であるから，帰無仮説を採択する。すなわち，「肥料間の差があるとはいえない」といえる。

　なお，処理の種類が少ない場合（c = 3，4，5 の場合）には統計数値表を参照して棄却限界値を求め，以下の規則で決定を下す。

注：全体として処理間に差があるときには，どの処理間に差があるかについて多重比較（対比較）を行うことができる。

演習問題：

　「8 名のボランティアを被検者として，ある薬剤を投与しない場合（0mg），10，20，40，80mg 投与する場合の 5 通りの処置を行い，効果を測定した結果は表 5 のようになった。薬剤の効果があるかどうかを 5% の有意水準で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量による差はない
b：投与量による差がある

解答欄：

問題2　χ²₀ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 2 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：

問題3　求められた χ²₀ 検定統計量は，自由度いくつの χ² 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：

問題4　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：

問題5　有意水準 5% で検定を行うとき，帰無仮説は採択されるか，棄却されるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却される
b：採択される

解答欄：

問題6　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量による差があるとはいえない
b：投与量による差がある

解答欄：

応用問題：

計算プログラム　[R]