対応のあるデータにおいて，代表値間に差があるかどうかを検定する。行と列を入替えることで，被験者間に差があるかどうかを検定できる。

例題：

　「表 1 のようなデータがある。4 種の肥料間で収量に差があるか検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。

2. $r$ 種類の対象に $c$ 種の処理を行い，観察値 $X_{ij}$ を得たとする $(i=1, 2, \dots , r\ ; \ j=1, 2, \dots , c)$。 $r$ は row，$c$ は column の略

   表 2．記号の定義

   被験者	処理1	処理2	$\dots$	処理 $c$
   1	$X_{11}$	$X_{12}$	$\dots$	$X_{1c}$
   2	$X_{21}$	$X_{22}$	$\dots$	$X_{2c}$
   ：	：	：	：	：
   $r$	$X_{r1}$	$X_{r2}$	$\dots$	$X_{rc}$

   例題では，$r = 7$，$c = 4$ である。

3. 各被験者ごとに観察値 $X_{i1} ， X_{i2}, \dots , X_{ij}, \dots , X_{ic}$ の小さい順に順位 $O_{ij}\ (1 \leqq O_{ij} \leqq c)$ をつける（同順位がある場合には平均順位をつける）。

4. 表 3 に示すように，各処理ごとに順位の和 $R_{j}$ を計算する。

   \[ R_j = \sum_{i=1}^r O_{ij} \]

   表 3．順位

   被験者	処理 1	処理 2	$\dots$	処理 $c$
   1	$O_{11}$	$O_{12}$	$\dots$	$O_{1c}$
   2	$O_{21}$	$O_{22}$	$\dots$	$O_{2c}$
   $\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
   $r$	$O_{r1}$	$O_{r2}$	$\dots$	$O_{rc}$
   順位の合計	$R_{1}$	$R_{2}$	$\dots$	$R_{c}$

   検算：$\displaystyle \sum_{j=1}^c R_j = \frac{r \ c \ (c+1)}{2}$

   例題の場合，表 4 のようになる。

   表 4．表 1 のデータのフリードマン検定

   	肥料
   品種	$B_{1}$	$B_{2}$	$B_{3}$	$B_{4}$	合計
   $A_{1}$	1	4	2	3
   $A_{2}$	1	4	3	2
   $A_{3}$	2	4	1	3
   $A_{4}$	1.5	3.5	3.5	1.5
   $A_{5}$	3	1	3	3
   $A_{6}$	1	2	3	4
   $A_{7}$	1	2	4	3
   $R_{j}$	10.5	20.5	19.5	19.5	70
   $R_{j}^{2}$	110.25	420.25	380.25	380.25	1291

5. 次式により検定統計量を求める。$\chi^2_0$ は，自由度が $c - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   \[ \chi_0^2 = \frac{12}{r \ c \ (c+1)}\sum_{j=1}^c R_j^2-3\ r\ (c+1) \] 例題では， $\chi^2_0 = 5.65714$ であり，自由度 $3$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   以上は多くの統計学の教科書に書かれているものであるが，R や SPSS では，検定統計量に対しても同順位の補正をしたものを求めている。 \[ \chi_0^2 = \frac{12 \displaystyle \sum_{j=1}^c (R_j-r\ (c+1)\ /\ 2)^2}{r\ c\ (c+1)-t\ /\ (c-1)} \] ただし，$t$ は $R$ の各行の要素について，ある値と同じ値となるものの数を $t_0$ としたとき $t_0^3-t_0$ としたものについての，行全体での総和である。
   例では，$A_4$ において 1.5 と 3.5 の同順位がそれぞれ 2 個なので，$(2^3-2) + (2^3-2)) = 12$，および，$A_5$ において 3 の同順位が 3 個なので $3^3-3 = 24$ であり，合計して $t = 36$ である（同順位がない値の場合は $1^3-1=0$ である）。
   したがって，$\chi_0^2 = \displaystyle \frac{12 \{(10.5-17.5)^2+(20.5-17.5)^2+(19.5-17.5)^2+(19.5-17.5)^2\}}{7\cdot 4 \cdot 5-36\ /\ 3} = 6.1875$ である。
   行単位で同順位が全くない場合は，$\chi_0^2$ を求める 2 つの式は全く同じ値になる。

6. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi^2_0\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $3$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 7.81\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 5.65714\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.1295$）。

   同順位を考慮した場合は，正確な有意確率は$P = 0.1028$ である。

7. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「処理の差があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「処理の差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），同順位を考慮した場合もしない場合も，$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「肥料間の差があるとはいえない」。

　なお，処理の種類が少ない場合（$c = 3，4，5$ の場合）には統計数値表を参照して棄却限界値を求め，以下の規則で決定を下す。

• $\chi^2_0 \lt$ 棄却限界値のとき，帰無仮説は棄却できない。
• $\chi^2_0 \geqq$ 棄却限界値のとき，帰無仮説を棄却する。

注： 全体として処理間に差があるときには，どの処理間に差があるかについて多重比較（対比較）を行うことができる。

R で計算してみる

演習問題：

　「8 名のボランティアを被検者として，ある薬剤を投与しない場合（0mg），10，20，40，80mg 投与する場合の 5 通りの処置を行い，効果を測定した結果は表 5 のようになった。薬剤の効果があるかどうかを $5\%$ の有意水準で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量による差はない
b：投与量による差がある

解答欄：　　　　

問題2　$\chi^2_0$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 2 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　求められた $\chi^2_0$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　有意確率は $0.05$ より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題5　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題6　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量による差があるとはいえない
b：投与量による差がある

解答欄：　　　　

R で計算してみる

応用問題：