処理全体の差の検定が有意なときには，シェッフェの方法による対比較を行うことができる。

例題：

　「8 名のボランティアを被検者として，ある薬剤を投与しない場合（0mg），10，20，40，80mg 投与する場合の 5 通りの処置を行い，効果を測定した結果は表 1 のようになった。薬剤の効果があるかどうかを $5\%$ の有意水準で検定したところ，有意な差があると認められた。このとき，どの処理間に有意差があるかを多重比較により検討しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「各処理対の母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「各処理対の母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。

2. 各被験者ごとに観察値 $X_{i1}$ ， $X_{i2}$ ， $\dots$ ， $X_{ij}$ ， $\dots$ ， $X_{ic}$ の小さい順に順位 $O_{ij}\ (1 \leqq O_{ij} \leqq c)$ をつける（同順位がある場合には平均順位をつける）。

   例題では表 2 のようになる。

   表 2．薬剤投与量による効果の順位付け

   	投与量
   被検者	0mg	10mg	20mg	40mg	80mg
   1	1	3	2	4	5
   2	1	2	4	3	5
   3	1	2	3	4	5
   4	2	3	4	1	5
   5	1	5	3	2	4
   6	1	5	2	4	3
   7	1	2	4	3	5
   8	3	1	2	5	4

3. 各処理の順位の平均と分散を次式で定義する。

   \[ \bar{R}_j = \sum_{i=1}^r \frac{O_{ij}}{r}=\frac{R_j}{r} \] \[ V=\sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \left ( O_{ij}-\frac{c+1}{2} \right )^2 \] 例題では，$\bar{R}_1 = 1.375$，$\bar{R}_2 = 2.875$，$\bar{R}_3 = 3.000$，$\bar{R}_4 = 3.250$，$\bar{R}_5 = 4.500$。また，$V = 80$。

4. 処理 $i$ と 処理 $j$ の対比較のための検定統計量 $S_{ij}$ は次式で定義される。

   \[ S_{ij} = \frac{r^2\ (c-1)\ (\bar{R}_i-\bar{R}_j)^2}{2V} \] 例題では，処理 1 と 処理 2 の対比較を行うために，$S_{12} = \displaystyle \frac{8^2 \cdot ( 5 - 1 )\cdot ( 1.375 - 2.875 )^{2} } {2\cdot 80} = 3.6$。その他の組合せも同様にして，表 3 を得る。

   表 3．処理間の対比較の結果

   条件	$S_{ij}$	有意確率（$P$ 値）	検定結果
   処理 1 ： 処理 2	3.600	0.4628369	n.s.
   処理 1 ： 処理 3	4.225	0.3764110	n.s.
   処理 1 ： 処理 4	5.625	0.2289584	n.s.
   処理 1 ： 処理 5	15.625	0.0035659	**
   処理 2 ： 処理 3	0.025	0.9999225	n.s.
   処理 2 ： 処理 4	0.225	0.9941270	n.s.
   処理 2 ： 処理 5	4.225	0.3764110	n.s.
   処理 3 ： 処理 4	0.100	0.9987909	n.s.
   処理 3 ： 処理 5	3.600	0.4628369	n.s.
   処理 4 ： 処理 5	2.500	0.6446358	n.s.

5. $S_{ij}$ は，自由度 $c - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   例題では，表 3 に示した $S_{ij}$ はすべて，自由度 $4$ の $\chi^2$ 分布に従う。

6. 有意確率を $P_{ij} = \Pr\{\chi^2 \geqq S_{ij}\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，処理 1 と 処理 2 の対比較をするときに，自由度 $4$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 9.49\}= 0.05$ であるから，$P_{ij} = \Pr\{\chi^2 \geqq 3.6\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P_{ij} = 0.4628369$）。他も同様。

7. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P_{ij} \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「処理 i と処理 j の間に差があるとはいえない」。
   • $P_{ij} \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「処理 i と処理 j の間に差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），処理 1 と 処理 2 の対比較をするときに，$P_{ij} \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「処理 1 と 処理 2 の間に差があるとはいえない」。
   他も同様に行う。

8. 全ての群の組合せについて対比較を行ったとき，検定全体の危険率が $\alpha$ 以下であることが保証される。

   例題では，「処理 1 と 処理 5 の間には有意な差があるが，他の処理間には差があるとはいえない」と結論することが，危険率 $5\%$ の下でいえる。

R で計算してみる

演習問題：

応用問題：