「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 040

No.04263　二項分布と母集団の性質との関係　　【石田】　2007/08/28(Tue) 16:18

石田と申します。化学分析に携わっております。統計は教科書を読んだ程度でございます。二項分布についてお聞きしたいのですが，適切なログがなかったので，こちらに書き込ませていただきます。ご教示いただければ幸いです。

二項分布について調べますと，例えばWikipediaには，以下のような例が載っております。

全住民の5%がある感染症に罹患しており，その中から無作為に500人を抽出する。このとき，抽出された集団の中に罹患者が30人以上いる確率はどれくらいか。抽出された集団の中に含まれる罹患者数を確率変数 X で表すとき，X は n = 500，p = 0.05 の二項分布に従う。(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83 より引用)

ここで『全住民の5%がある感染症に・・・』とありますが，例えば，感染症でしたら，とても病気になりやすい人や，丈夫で全く病気にならない人等，色々いますよね？　この度合いがどんな分布でも，上記の確率は，二項分布に従うのでしょうか？？　言い換えると，母集団中の性質(この場合は感染症へのかかりやすさ)が，正規分布でもパレート分布でもどんな分布でも，上記確率は二項分布に従いますか？

疑問点がわかりにくいかもしれないので，もう一つ例を書くと，例えば，『年収1000万円以上の人をお金持ち』と決めたとします。皆さんご存じのように，所得の分布はパレートです。この場合でも，母集団から500人抽出した場合，抽出された集団の中に『お金持ち』が30人以上いる確率は，(平均のお金持ちの確率,500)の二項分布から導けるでしょうか？　言い換えると，nとpが同じとして，所得分布が正規分布だった場合とパレートだった場合で，結果が違いますでしょうか？

長く成ってすみません。
何かアドバイスでもいただければ幸いです。

No.04266　Re: 二項分布と母集団の性質との関係　　【青木繁伸】　2007/08/28(Tue) 17:24

「全住民の5%がある感染症に罹患しており」ということは「とても病気になりやすい人や，丈夫で全く病気にならない人等，色々いますよね？　この度合いがどんな分布でも」というのとは全く無関係です。
罹患という言葉で迷わされているのかも知れませんが，「母比率が5％のときに，無作為に500人選んだら，その中に該当者が30人以上いる確率」ということです。

「『年収1000万円以上の人をお金持ち』と決めた」ら，母集団中にそのような人が何パーセントいるか（母比率）は定義できますね。所得の分布が何であろうと無関係です。「年収1000万円以上の人が何人いるか分からない」とか，「分母(母集団人口）が分からない」というような場合も当然あるかも知れませんが，そのような場合には母比率を計算できない（推定はできるかも知れないが）ので，二項分布に基づいて「『お金持ち』が30人以上いる確率」を求めることはできません。

No.04282　Re: 二項分布と母集団の性質との関係　　【石田】　2007/08/29(Wed) 12:22

青木先生
ご丁寧な回答，痛み入ります。

つまり，母比率がわからない場合は，二項分布はあてはめられない，ということでしょうか？一定回数のサンプリング実験をし，母比率を『推定』したのち，二項分布から「『お金持ち』が30人以上いる確率」を求めることは，統計学的に正しいでしょうか。

ご教示いただければ幸いです。

No.04284　Re: 二項分布と母集団の性質との関係　　【青木繁伸】　2007/08/29(Wed) 13:32

> 一定回数のサンプリング実験をし，母比率を『推定』したのち，二項分布から「『お金持ち』が30人以上いる確率」を求めることは，統計学的に正しいでしょうか。

正しいです。
母数というのは普通分からない（母数がいくつなんて言うのは，理論的にそうなるとか，今までの経験ではそうだとかいっているだけ）ので，母比率を推定してそれから二項分布に当てはめます。そして当てはまりの程度を検定すると，その分布に従うといえるかどうかわかるわけです。

正規分布のあてはめと適合度の検定
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/GoodnessOfFitness/normaldist.html

ポアソン分布のあてはめと適合度の検定
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/GoodnessOfFitness/poissondist.html

二項分布へのあてはめと適合度の検定（練習問題-2）
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/nikou.html