ある集団において，特性 A を持つものの割合が $p$ であり，持たないものの割合が $q$ であるとする（ $p + q = 1$ ）。このとき，集団から無作為に $n$ 人を抽出したとき，特性 A を持つものが $x$ 人である確率を考える。$n$ 人のうち $x$ 人が特性を持つ組合せは ${}_{n}C_{x}$ 通りある（ $\displaystyle {n \choose x}$ とも書く） 。その各々に対して，$x$ 人が特性 A を持つ確率は $p^{x}$，残り $n - x$ 人が特性を持たない確率は $q^{n - x}$ であり，両者が共に起こる確率は両者の積である。よって， \[ f(x) = {}_nC_{x}\ p^x\ q^{n-x},\ p \gt 0, q \gt 0,\ p+1=1,\ x=0, 1, \dots, n \] が求める確率であり，この分布を二項分布と呼ぶ。

$n$，$p$，$q$ は定数である。このようなパラメータのことを母数という。$n$，$p$ を与えることにより，この分布は確定する。$p$ を母比率という。この分布を $B ( n, p )$ と表すことにする。

　図 1 は出現率が $0.25$ のとき，$n = 10$ と $n = 70$ について図示したものである。二項分布では $p = q = 0.5$ のときに左右対称な密度分布を持つが，$p$ と $q$ がかなり違う場合でも，$n$ が大きくなるにつれ，その形は次第に左右対称なもの（正規分布）に近づく（アニメーション，または，ムービー）。

図 1．二項分布の概形

　二項分布の平均 $E ( x )$ と分散 $V ( x )$ は \[ E ( x ) = n\ p,\ V ( x ) = n\ p\ q \] である。

　ところで，1 回ごとの事象の生起確率 $p$ が一定であるとき，実験を繰り返し行うことを ベルヌーイ試行というが，独立に実験を $n$ 回繰り返したとき，$x$ 回事象が生じる確率は二項分布である。このため二項分布はベルヌーイ分布とも呼ばれる。

問題：　「生まれてくる子どもの性比を，男：女 = 22:21 としたとき，ある団地で 5 人の子どもが生まれるとして，そのうちの 4 人以上が男，あるいは，4 人以上が女である確率を求めよ。」

解答：　求めるのは，（ 1 ）式を用いて，
$f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) = 1 - \left \{ f ( 2 ) + f ( 3 ) \right \}$ である。
答えは，$0.37567586$。

演習問題−１：

　「全製品のうち不良品が $1 / 6$ の割合で含まれている。いまこれら製品のうちから，$5$ 個を無作為に選んだとき，その中に不良品が $x$ 個だけ含まれる確率はいかほどか。その確率分布を示し，母平均，母分散を計算せよ。」

問題1　母比率はいくつか。答えを分数で解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　母平均を求めなさい。答えを分数で解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　母分散を求めなさい。答えを分数で解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

演習問題−２：

　「$5$ 人兄弟の同胞 $100$ 組を選んで，これら各組ごとに男子の数を調べたところ，表 1 のようになった（ 男子の数 $x$ と実測度数 $f_{i}$ の欄 ）。このデータに対して，理論分布としての二項分布をあてはめなさい。」

解答

応用問題：

　「演習問題−１を積率母関数を用いて理論的に解いてみよう。」