観測値の散らばりを表すと同時に，その観測値がえられた母集団における散らばりの推定値でもある（“母分散の不偏推定値”という）。
有効ケース数を $n$，各ケースの測定値を $X_{i}\ ( i = 1，2，\dots ，n )$ とすると，以下の式で定義される。
\[ U = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left (X_i-\bar{X} \right )^2}{n-1} \] すなわち変動を $n-1$ で割ったものである。分母が $n - 1$ であることに注意。ケース数が大きくなれば，分散と不偏分散の違いは小さくなる。
上式を変形すると，次式が得られる。
\[ U = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i^2-n\ \bar{X}^2}{n-1} \] この式は電卓などを用いて計算するときには便利なものであるが，コンピュータを用いて計算する場合には使わない方がよい。
例題：5 つの測定値，2，3，4，7，9 の不偏分散を求めよ。
解答：算術平均値は $\bar{X} = \displaystyle \frac{ 2 + 3 + 4 + 7 + 9 }{ 5 }= 5$
不偏分散は $U = \displaystyle \frac{ ( 2 - 5 )^{2} +( 3 - 5 )^{2} +( 4 - 5 )^{2} +( 7 - 5 )^{2} +( 9 - 5 )^{2} }{ 5 - 1 } = \displaystyle \frac{ 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{4} = 8.5$
または，$U = \displaystyle \frac{ 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 7^{2} + 9^{2} - 5・5^{2} }{ 5 - 1 } = \displaystyle \frac {159 - 125}{4} = 8.5$
度数分布表から分散を求めるには，各階級の度数を $f_{i}$，その中心点を $X_{i}$，$m$ を階級数として，以下のように定義できる。
\[ U = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^m f_i\ X_i^2-n\ \bar{X}^2}{n-1} \] 例題：「426 人の女子学生の身長の度数分布が表 1 のようであった。不偏分散を求めよ。」
| 階級（単位 cm） | 度数 |
|---|---|
| 140 以上 145 未満 | 4 |
| 145 以上 150 未満 | 19 |
| 150 以上 155 未満 | 86 |
| 155 以上 160 未満 | 177 |
| 160 以上 165 未満 | 105 |
| 165 以上 170 未満 | 33 |
| 170 以上 175 未満 | 2 |
| 合計 | 426 |
解答：以下のような計算表を作る。
| 中心点($X_{i}$) | $f_{i}$ | $f_{i}\cdot X_{i}$ | $X_{i}^{2}$ | $f_{i}\cdot X_{i}^{2}$ |
|---|---|---|---|---|
| 142.5 | 4 | 570.00 | 20306.25 | 81225.00 |
| 147.5 | 19 | 2802.50 | 21756.25 | 413368.75 |
| 152.5 | 86 | 13115.00 | 23256.25 | 2000037.50 |
| 157.5 | 177 | 27877.50 | 24806.25 | 4390706.25 |
| 162.5 | 105 | 17062.50 | 26406.25 | 2772656.25 |
| 167.5 | 33 | 5527.50 | 28056.25 | 925856.25 |
| 172.5 | 2 | 345.00 | 29756.25 | 59512.50 |
| 合計 | 426 | 67300.00 | 10643362.50 |
算術平均値は $\bar{X} = \displaystyle \frac{67300}{426} = 157.981221$
不偏分散は $U = \displaystyle \frac{10643362.50 - 426\cdot 157.981221^{2} } { 426 - 1 } = 26.4149406$
演習問題：
「426 人の女子学生の体重の度数分布が表 2 のようであった。」
| 階級（単位 kg） | 度数 |
|---|---|
| 35 以上 40 未満 | 3 |
| 40 以上 45 未満 | 25 |
| 45 以上 50 未満 | 94 |
| 50 以上 55 未満 | 117 |
| 55 以上 60 未満 | 108 |
| 60 以上 65 未満 | 41 |
| 65 以上 70 未満 | 20 |
| 70 以上 75 未満 | 8 |
| 75 以上 80 未満 | 5 |
| 80 以上 85 未満 | 2 |
| 85 以上 90 未満 | 2 |
| 90 以上 95 未満 | 0 |
| 95 以上 100 未満 | 1 |
| 合計 | 426 |
問題1 不偏分散を求めなさい。答えは小数点以下 3 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。
応用問題：
計算プログラム [CGI(C)] [CGI(AWK)-1] [CGI(AWK)-2]
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