不偏分散($U$)     Last modified: Nov 06, 2002

 観測値の散らばりを表すと同時に,その観測値がえられた母集団における散らばりの推定値でもある(“母分散の不偏推定値”という)。

 有効ケース数を $n$,各ケースの測定値を $X_{i}\ ( i = 1,2,\dots ,n )$ とすると,以下の式で定義される。

\[ U = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}{n-1} \]  すなわち変動を $n-1$ で割ったものである。分母が $n - 1$ であることに注意。ケース数が大きくなれば,分散と不偏分散の違いは小さくなる。

 上式を変形すると,次式が得られる。

\[ U = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i^2-n\bar{X}^2}{n-1} \]  この式は電卓などを用いて計算するときには便利なものであるが,コンピュータを用いて計算する場合には使わない方がよい。

 例題:5 つの測定値,2,3,4,7,9 の不偏分散を求めよ。

 解答:算術平均値は $\bar{X} = \displaystyle \frac{ 2 + 3 + 4 + 7 + 9 }{ 5 }= 5$

  不偏分散は $U = \displaystyle \frac{ ( 2 - 5 )^{2} +( 3 - 5 )^{2} +( 4 - 5 )^{2} +( 7 - 5 )^{2} +( 9 - 5 )^{2} }{ 5 - 1 } = \displaystyle \frac{ 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{4} = 8.5$

  または,$U = \displaystyle \frac{ 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 7^{2} + 9^{2} - 5・5^{2} }{ 5 - 1 } = \displaystyle \frac {159 - 125}{4} = 8.5$


 度数分布表から分散を求めるには,各階級の度数を $f_{i}$,その中心点を $X_{i}$,$m$ を階級数として,以下のように定義できる。

\[ U = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^m f_i\ X_i^2-n\bar{X}^2}{n-1} \]  例題:「426 人の女子学生の身長の度数分布が表 1 のようであった。不偏分散を求めよ。」

表 1.女子学生の身長の度数分布
階級(単位 cm)  度数
140 以上 145 未満 4
145 以上 150 未満 19
150 以上 155 未満 86
155 以上 160 未満 177
160 以上 165 未満 105
165 以上 170 未満 33
170 以上 175 未満 2
合計 426

 解答:以下のような計算表を作る。

中心点($X_{i}$) $f_{i}$ $f_{i}\cdot X_{i}$ $X_{i}^{2}$ $f_{i}\cdot X_{i}^{2}$
142.5 4 570.00 20306.25 81225.00
147.5 19 2802.50 21756.25 413368.75
152.5 86 13115.00 23256.25 2000037.50
157.5 177 27877.50 24806.25 4390706.25
162.5 105 17062.50 26406.25 2772656.25
167.5 33 5527.50 28056.25 925856.25
172.5 2 345.00 29756.25 59512.50
合計 426 67300.00
10643362.50

算術平均値は $\bar{X} = \displaystyle \frac{67300}{426} = 157.981221$

不偏分散は $U = \displaystyle \frac{10643362.50 - 426\cdot 157.981221^{2} } { 426 - 1 } = 26.4149406$


演習問題

 「426 人の女子学生の体重の度数分布が表 2 のようであった。」

表 2.女子学生の体重の度数分布
階級(単位 kg)  度数
35 以上 40 未満 3
40 以上 45 未満 25
45 以上 50 未満 94
50 以上 55 未満 117
55 以上 60 未満 108
60 以上 65 未満 41
65 以上 70 未満 20
70 以上 75 未満 8
75 以上 80 未満 5
80 以上 85 未満 2
85 以上 90 未満 2
90 以上 95 未満 0
95 以上 100 未満 1
合計 426


問題1 不偏分散を求めなさい。答えは小数点以下 3 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

応用問題


・計算プログラム [CGI(C)] [CGI(AWK)-1] [CGI(AWK)-2]
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