母数 $\theta$ を持つ母集団から，大きさ $n$ の標本 $X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}$ が抽出されたとする。

　この標本について統計量 $T_{n} = T( X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n} )$ を考える。

　$T_{n}$ の期待値が $\theta$ である場合に，$T_{n}$ は $\theta$ の 不偏推定量 という。

\[ E[T_n] = \theta \]

　明らかに標本平均 $\bar{X}$ は，母平均 $\mu$ の不偏推定量である。

　母分散 $\sigma^{2}$ の推定値としては，次式で定義される $V$ は不偏ではなく，$U$ は不偏である（不偏分散と呼ぶ）。

\[ \begin{align*} V &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left (X_i-\bar{X} \right )^2} {n} \\ U &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left (X_i-\bar{X} \right )^2} {n-1} \end{align*} \]

演習問題：

　「$a$，$b$ が正数（ $a \neq b \gt 0$ )，$n$ が標本の大きさ，$\bar{X}$ が平均値であるとして，次式で定義される $\tilde{X}$ は，一致推定量の基準を満たすが，不偏推定量の基準は満たすか。」

\[ \tilde{X} = \frac{n+a}{n+b}\ \bar{X},　a\ne b > 0 \] 解答

応用問題：