帰無仮説 $H_0$: 「$b_{i} = 0\ ( i = 1, 2, \dots , p)$」。 対立仮説 $H_1$: 「$b_{i} \ne 0\ ( i = 1, 2, \dots , p)$」。 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（ 片側検定も定義できる ）。

1. 偏回帰係数 $b_{i}$ の標準誤差を $SE ( b_{i} )$ とすると，$s^{ii}$ を $\mathbf{S}^{ - 1}$ の要素として， 表 1 に示す $MS_{e}$ を用いて， \[ \begin{align*} & SE ( b_{i} ) = \sqrt{s^{ii}\ MS_e} \\[5pt] & t_0 = \frac{\left |\, b_i \, \right |}{SE ( b_{i} )} \tag{1} \end{align*} \] となり，$t_0$ は，自由度が $n - p - 1$ の $t$ 分布に従う。

2. 有意確率を $P_{0} = \Pr\{ |\, t \,| \geqq t_0\}$ とすると，
   • $P_{0} \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「偏回帰係数は $0$ でないとはいえない」。
   • $P_{0} \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「偏回帰係数は $0$ ではない」。

定数項の検定

帰無仮説 $H_0$: 「$b_{0} = 0$」。 対立仮説 $H_1$: 「$b_{0} \ne 0$」。 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（ 片側検定も定義できる ）。

1. 定数項 $b_{0}$ の標準誤差を $SE ( b_{0} )$ とするとき， \[ \begin{align*} & SE ( b_{0} ) = \sqrt{\left ( \frac{1}{n}+\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p \ \bar{X}_i \ \bar{X}_j\ s^{ij}\ \right )\ MS_e} \\[5pt] & t_0 = \frac{\left |\, b_0 \, \right |}{SE ( b_{0} )} \tag{2} \end{align*} \] となり，$t_0$ は，自由度が $n - p - 1$ の $t$ 分布に従う。
2. 有意確率を $P_{0} = \Pr\{ |\, t \,| \geqq t_0\}$ とすると，
   • $P_{0} \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「定数項は $0$ でないとはいえない」。
   • $P_{0} \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「定数項は $0$ でない」。

偏回帰係数および定数項の信頼限界

$ ( 1 - \alpha )\ 100 \%$ 信頼限界を求める。

　自由度が $\nu = n - p - 1$ の $t$ 分布において，上側確率が $\alpha \,/\, 2$ となるパーセント点を $t_{ ( \alpha\,/\,2,\, \nu ) }$， $SE ( b_{i} )$ を $(1)$，$(2)$ 式で定義されたものとすると，信頼限界は $(3)$ 式で与えられる。 \[ b_i \pm t_{ ( \alpha\,/\,2,\, \nu ) }\ SE ( b_{i} ) \tag{3} \]

演習問題：

　前のページに引き続き，偏回帰係数，定数項の検定を行え。　　答え

応用問題：