コクランの $Q$ 検定     Last modified: Nov 07, 2002

対応のある $k$ 個($k \geqq 3$)の名義尺度変数において,処理間の差(比率の差)の検定を行う(2 つの対応のある比率の検定(マクネマー検定)を拡張した検定である)。各データは 2 値型の変数でなければならない。


例題

 「10 人の被検者を対象として,3 種類の状況の下である作業に成功するかどうかを調べたところ,表 1 のような結果であった(成功の場合 1,失敗の場合 0 で表した)。状況により成功の比率が違うかどうかを検定しなさい。」

表 1.コクランの $Q$ 検定を適用するデータ
被検者 状況 1 状況 2 状況 3
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 1
5 0 1 1
6 0 1 1
7 0 1 1
8 1 1 1
9 1 1 1
10 1 1 1


検定手順:

  1. 前提

  2. $k$ 個の対応のあるデータが $n$ 組あり,表 2 のように整理されているとする。$R_{ij}$ は,特性を持つときに $1$,持たないときに $0$ の値をとるように記述されているとする。

    表 2.$k$ 個の対応のあるデータ
    処理 1 処理 2  $\dots$  処理 $k$ 合計
    1 $R_{11}$ $R_{12}$  $\dots$  $R_{1k}$ $L_{1}$
    2 $R_{21}$ $R_{22}$  $\dots$  $R_{2k}$ $L_{2}$
    $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
    n $R_{n1}$ $R_{n2}$  $\dots$  $R_{nk}$ $L_{n}$
    合計 $G_{1}$ $G_{2}$  $\dots$  $G_{k}$
    \[ \begin{align*} G_j &= \sum_{i=1}^n R_{ij}, \ \ \ \ \ j=1, 2, \dots, k \\ L_i &= \sum_{j=1}^k R_{ij}, \ \ \ \ \ i=1, 2, \dots, n \end{align*} \]
  3. 表 2 より,検定統計量 $Q$ を計算する。 \[ Q = \frac{\displaystyle k\ (k-1)\sum_{j=1}^k\ (G_j-\bar{G})^2} {\displaystyle k\sum_{i=1}^n L_i - \sum_{i=1}^n L_i^2} = \frac{\displaystyle (k-1)\ \left [\ k\ \sum_{j=1}^k\ G_j^2 - \left( \sum_{j=1}^k G_{j} \right)^2\ \right ]} {\displaystyle k\sum_{i=1}^n L_i - \sum_{i=1}^n L_i^2} \] 例題では,$Q = 6.5$ である。

  4. $Q$ は,自由度が $k-1$ の $\chi^2$分布に従う。

    例題では,自由度が $2$ の $\chi^2$ 分布に従う。

  5. 有意確率を $P = \Pr \{ \chi^2 \geqq Q \}$ とする。

    $\chi^2$ 分布表,または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

    例題では,自由度 $2$ の $\chi^2$ 分布において,$\Pr\{\chi^2 \geqq 5.99\}= 0.05$ であるから,$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 6.5\}\lt 0.05$ である(正確な有意確率:$P = 0.03877$)。

  6. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では,有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば($\alpha = 0.05$),$P \lt \alpha$ であるから,帰無仮説を棄却する。すなわち,「条件により成功の比率は異なる」といえる。

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