対応のある $k$ 個（$k \geqq 3$）の名義尺度変数において，処理間の差（比率の差）の検定を行う（2 つの対応のある比率の検定（マクネマー検定）を拡張した検定である）。各データは 2 値型の変数でなければならない。

例題：

　「10 人の被検者を対象として，3 種類の状況の下である作業に成功するかどうかを調べたところ，表 1 のような結果であった（成功の場合 1，失敗の場合 0 で表した）。状況により成功の比率が違うかどうかを検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「比率に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「比率に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。

2. $k$ 個の対応のあるデータが $n$ 組あり，表 2 のように整理されているとする。$R_{ij}$ は，特性を持つときに $1$，持たないときに $0$ の値をとるように記述されているとする。

   表 2．$k$ 個の対応のあるデータ

   組	処理 1	処理 2	$\dots$	処理 $k$	合計
   1	$R_{11}$	$R_{12}$	$\dots$	$R_{1k}$	$L_{1}$
   2	$R_{21}$	$R_{22}$	$\dots$	$R_{2k}$	$L_{2}$
   $\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
   n	$R_{n1}$	$R_{n2}$	$\dots$	$R_{nk}$	$L_{n}$
   合計	$G_{1}$	$G_{2}$	$\dots$	$G_{k}$

   \[ \begin{align*} G_j &= \sum_{i=1}^n R_{ij}, \ \ \ \ \ j=1, 2, \dots, k \\ L_i &= \sum_{j=1}^k R_{ij}, \ \ \ \ \ i=1, 2, \dots, n \end{align*} \]
3. 表 2 より，検定統計量 $Q$ を計算する。 \[ Q = \frac{\displaystyle k\ (k-1)\sum_{j=1}^k\ (G_j-\bar{G})^2} {\displaystyle k\sum_{i=1}^n L_i - \sum_{i=1}^n L_i^2} = \frac{\displaystyle (k-1)\ \left [\ k\ \sum_{j=1}^k\ G_j^2 - \left( \sum_{j=1}^k G_{j} \right)^2\ \right ]} {\displaystyle k\sum_{i=1}^n L_i - \sum_{i=1}^n L_i^2} \] 例題では，$Q = 6.5$ である。

4. $Q$ は，自由度が $k-1$ の $\chi^2$分布に従う。

   例題では，自由度が $2$ の $\chi^2$ 分布に従う。

5. 有意確率を $P = \Pr \{ \chi^2 \geqq Q \}$ とする。

   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $2$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 5.99\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 6.5\}\lt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.03877$）。

6. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「比率に差はない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「比率に差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「条件により成功の比率は異なる」といえる。

R で計算してみる

演習問題：

応用問題：