クロス集計表（分割表）の形式でまとめられた結果に基づき，複数の群の分布に差があるかどうかを検定する。

　注：実質的には，「独立性の検定」と同じものである。

例題：

　「ABO 式の血液型を調べたところ，表 1 のような結果であった。男女で血液型の分布がことなるだろうか。」

検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「各群の分布は同じである」。
   • 対立仮説 $H_1$：「各群の分布は異なる」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。

2. $m$ 個のカテゴリーを持つ観察値が $k$ 群について調べられ，表 2 のようにまとめられているとする。

   例題では，$m = 4$，$k = 2$ である。

   表 2．記号の定義

   群	第 1 カテゴリー	第 2 カテゴリー	$\dots$	第 $m$ カテゴリー	合計
   第 1 群	$O_{11}$	$O_{12}$	$\dots$	$O_{1m}$	$n_1$
   第 2 群	$O_{21}$	$O_{22}$	$\dots$	$O_{2m}$	$n_2$
   :	:	:	:	:	:
   第 $k$ 群	$O_{k1}$	$O_{k2}$	$\dots$	$O_{km}$	$n_k$
   合計	$t_{1}$	$t_{2}$	$\dots$	$t_{m}$	$n$

3. 全体としてみたとき，ある個体が第 $j$ カテゴリーに属する確率は $\displaystyle \frac{t_{j}}{n}$ である。

   例題では，たとえば A 型である確率は $\displaystyle \frac{35}{90} ≒ 0.389$ である。

4. 第 $i$ 群の第 $j$ カテゴリーの期待値は $E_{ij} = n_i \times \displaystyle \frac{t_{j}}{n}$ である。

   例題では，A 型の男に対する期待値は $55 \times \displaystyle \frac{35}{90} ≒ 21.389$ である。

5. 全ての桝目における，期待値からの変位の合計量（検定統計量）を，以下の式で計算する。 \[ \chi_0^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m \frac{\left( O_{ij}-E_{ij} \right)^2}{E_{ij}} \] 例題では，$\chi^2_0 ≒ 1.1981$ となる。

6. $\chi^2_0$ は，自由度が $(k-1) \times (m-1)$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   例題では，$(2-1) \times (4-1) = 3$ である。

7. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi^2_0\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $3$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 7.81\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 1.1981 \}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.75346$）。

8. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「各群の分布が同じでないとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「各群の分布は同じではない」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「男女で血液型の分布は同じでないとはいえない」。

演習問題：

　「調査対象者の年齢分布を男女ごとに集計すると表 3 のようになった。対象者の年齢構成が同じであるとみなしてよいか，検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b，c，d のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：男女の年齢分布は同じである
b：男女の年齢分布は異なる
c：男のほうが若いものが多い
d：女のほうが若いものが多い

解答欄：　　　　

問題2　40 歳代の女は全体の何パーセントくらいいると期待されるか。小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　30 歳代の男は何人くらいいると期待されるか。小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　$\chi^2$ 検定統計量を求め，小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題5　求められた $\chi^2$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題6　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題7　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題8　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：男女の年齢分布が異なるとはいえない
b：男女の年齢分布は異なる

解答欄：　　　　

応用問題：