ある分布を特徴づけるとき，その積率を計算すれば便利なことがある。積率母関数は積率を統一的に表現するものとして使用される。

　次式のような関数を考える。 \[ e^{\theta\ x} = 1+\frac{\theta\ x}{1!}+\frac{\theta^2\ x^2}{2!}+\frac{\theta^3\ x^3}{3!}+\cdots=\sum_{r=0}^\infty \frac{\theta^r\ x^r}{r!} \] 　この両辺について期待値を取ってみる。すると，離散型ならば \[ M_x(\theta) = E(e^{\theta\ x}) = \sum_{r=0}^\infty e^{\theta\ x_r}\ f(x_r) \] 　また，連続型ならば， \[ M_x(\theta) = E(e^{\theta\ x}) = \int_{-\infty}^\infty e^{\theta\ x} \ f(x) \ dx \tag{1} \] となる。この $M_{x} ( \theta )$ を積率母関数という。（ 1 ）式は， \begin{align*} M_x(\theta) & = \int_{-\infty}^\infty \left[ 1+\frac{\theta\ x}{1!}+\frac{\theta^2\ x^2}{2!}+\frac{\theta^3\ x^3}{3!}+\cdots \right]\ f(x)\ dx \\ & = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx + \theta \int_{-\infty}^\infty x\ f(x)\ dx + \frac{\theta^2}{2!} \int_{-\infty}^\infty x^2\ f(x)\ dx + \cdots \\ & = \nu_0+\theta\ \nu_1+\frac{\theta^2}{2!}\ \nu_2+\cdots \end{align*} となり，変数の積率母関数が見いだされて，$\theta$ のベキ級数に展開することができるならば，$x$の積率（特に$\mu$，$\sigma^{2}$ ）は単にその展開式を調べることで直ちに統一的に求めることができる。すなわち，特定の次数，例えば第 $r$ 次の積率を求めたいならば，$M_{x} ( \theta )$ を $r$ 回微分し，$\theta = 0$ とおいて求めることができる。 \[ \nu_r = \left .\frac{\partial^{\ r}\ M_x(\theta)}{\partial\ \theta^r} \right|_{\theta=0} \]

演習問題：

　「カイ二乗分布の平均値と分散を求めなさい。」

　　解答

応用問題：