1. $x$ の原点まわりの第 $r$ 次母積率　　$\nu_{r}$

   　$x^{r}$ の期待値のことである。 \[ \nu_r = \sum x^r\ f(x) \] \[ \nu_r = \int_{-\infty}^\infty x^r\ f(x)\ dx \] 　$\nu_{1}$ は母平均である。 \[ \mu = \nu_1 = \sum x\ f(x) \] \[ \mu = \nu_1 = \int_{-\infty}^\infty x\ f(x)\ dx \]

2. $x$ の母平均まわりの第 $r$ 次母積率　　$\nu_{r}'$

   $( x- \mu ) ^{r}$ の期待値のことである。 \[ \nu_r' = \sum (x-\mu)^r\ f(x) \] \[ \nu_r' = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^r\ f(x)\ dx \] $\nu_{2}'$ は母分散である。 \[ \sigma^2 = \nu_2' = \sum (x-\mu)^2\ f(x) \] \[ \sigma^2 = \nu_2' = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2\ f(x)\ dx \] $\nu_{r}$ と $\nu_{r}'$ の間には次のような関係がある。 \[ \left \{ \begin{array}{l} \nu_0' = 1\\ \nu_1' = 0\\ \nu_2' = \nu_2-\nu_1^2\\ \nu_3' = \nu_3-3\,\nu_2\,\nu_1+2\,\nu_1^3\\ \nu_4' = \nu_4-4\,\nu_3\,\nu_1+6\,\nu_2\,\nu_1^2-3\,\nu_1^4 \end{array} \right . \]

3. 基準系についての第 $r$ 次母積率　　$\alpha_{r}$

   　$x$ に関して，次のような一次変換を施して，変数を $x$ から $z$ へ置き換える変換を基準系への変換という。 \[ z = \frac{ x - \mu } { \sigma } \tag{1} \] 基準系についての第 $r$ 次母積率 は， \[ \alpha_r = \sum z^r\ f(z) \tag{2} \] \[ \alpha_r = \int_{-\infty}^\infty z^r\ f(z)\ dz \tag{3} \] $\alpha_{r}$ と $\nu_{r}'$ との関係は（ 1 ）式を（ 2 ），（ 3 ）式へ代入して， \[ \alpha_r = \sum \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^r\ f(z) = \frac{\nu_r'}{\left(\nu_2'\right)^{r/2}} \tag{4} \] となる。特に，$r = 1, 2, 3, 4$ とすれば，（ 4 ）式は \[ \left \{ \begin{array}{l} \alpha_0 = 1\\ \alpha_1 = \displaystyle \frac{\nu_1'}{\sigma} = 0\\ \alpha_2 = \displaystyle \frac{\nu_2'}{\sigma^2} = 1\\ \alpha_3 = \displaystyle \frac{\nu_3'}{\sigma^3}\\ \alpha_4 = \displaystyle \frac{\nu_4'}{\sigma^4} \end{array} \right . \] 　$\alpha_{3}$，$\alpha_{4}$ はそれぞれ，母歪度，母尖度ということがある（標本尖度の定義では $3$ を引いた。ここでの母尖度は $3$ を引いていないので，正規分布の場合に母尖度は $3$ である。）。

演習問題：

表 2 のような離散分布において，母平均，母分散，母尖度，母歪度を求めなさい。

解答例

応用問題：