ある確率変数が \(\chi^2\) 分布に従うということが確認できるならば，\(\chi^2\) 分布一般について，\(E(\chi^2)\) と \(V(\chi^2)\) が，どのように表せるかを考察すればよい。
念のため，自由度 \(m\) の \(\chi^2\) 分布は，
\[
f(\chi^2) = \frac{1}{2^{m/2}\Gamma(m/2)}(\chi^2)^{m/2-1} e^{-\chi^2/2}
\]
である。
また，積率母関数の定義により，
\[
M(\theta) = E\bigl(e^{\theta \chi^2}\bigr)
= \int_0^\infty e^{\theta \chi^2} f(\chi^2)d\chi^2
\]
である。
ここで，\(m/2 = \alpha\)，\(½ = \beta\)，\(\chi^2 = x\) と書き直すと，
\[
\begin{align*}
M(\theta) &= \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha)} \int_0^\infty e^{\theta x}e^{-\beta x}x^{\alpha-1}dx \\
&= \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha)} \int_0^\infty e^{-(\beta-\theta)x}x^{\alpha-1}dx \\
&= \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha)(\beta-\theta)^{\alpha-1}} \int_0^\infty e^{-(\beta-\theta)x}
\bigl\{ (\beta-\theta)x\bigr\}^{\alpha-1}dx
\end{align*}
\]
となる。
さらに，\(y = (\beta-\theta)x\)，\(x = \varphi(y) = \displaystyle \frac{y}{\beta-\theta}\) とおけば，\(\varphi'(y) = \displaystyle \frac{1}{\beta-\theta}\)，\(\varphi(\infty) = \infty\)，\(\varphi(0)=0\) より，
\[
M(\theta) = \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha)(\beta-\theta)^{\alpha}}
\int_0^\infty e^{-y} y^{\alpha-1}dy \tag{1}
\]
となる（注）。
ここで，
\[
\Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx
\]
ゆえ，（1）式の積分の部分は \(\Gamma(\alpha)\) となり，
\[
\begin{align*}
M(\theta)
&= \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha)(\beta-\theta)^{\alpha}} \Gamma(\alpha)\\
&= \frac{1}{2^\alpha(\beta-\theta)^\alpha}\\
&= \frac{1}{2^{m/2}(½-\theta)^{m/2}}\\
&= \frac{1}{(1-2\theta)^{m/2}} \nonumber \\
&= (1-2\theta)^{-m/2} \tag{2}
\end{align*}
\]
（2）式をべき級数に展開すると，
\[
\begin{align*}
M(\theta) &= 1+ \left(\frac{-m}{2}\right)(-2\theta)
+\frac{\left(-\displaystyle \frac{m}{2}\right)
\left(-\displaystyle \frac{m}{2}-1\right)}
{2!}(-2\theta)^2+\cdots \\
&= 1+\theta m + \frac{\theta^2}{2!}(2m+m^2)+\cdots \tag{3}
\end{align*}
\]
（3）式を用いて，\(\mu_1' = E(\chi^2) = m\)，\(\mu_2' = 2m+m^2\) となり，最終的に分散 \(V(\chi^2)\) は
\[
V(\chi^2) = \mu_2'-(\mu_1')^2 = 2m+m^2-m^2 = 2m
\]
で表される。
注：\(f(x)\) が区間 \([a, b]\) において積分可能な関数，\(x=\varphi(y)\) が \((\alpha, \beta)\) における単調関数で，\(\varphi(\alpha)=a\)，\(\varphi(\beta)=b\) かつ，\(\varphi'(y)\) がつねに存在し，積分可能なら，\(\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(y)\bigl)\varphi'(y)dy\)である。