対応のある 2 変数の組について，母代表値に差があるか検定する。
　2 変数の組で単に，いずれが優れているか劣っているかあるいは同等であるかしかわからないときに適用する（どの程度優れているか劣っているかが量的に定義できるときはウィルコクソンの符号付順位和検定を用いる）。

例題：

　「10 人の被検者について，五段階評価をした。同じ被検者に対して，1 年後にもう一度評価した。その結果を表 1 に示す。1 年間で母代表値に差があったかどうか検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. $n$ ケースの，対応のある $2$ 変数を $X_{i}$，$Y_{i}$ とする（$i = 1, 2, \dots, n$）。

3. $X_{i}$，$Y_{i}$ の大小関係を調べ，$X_{i} \gt Y_{i}$ の組の数を $n_p$，$X_{i} \lt Y_{i}$ の組の数を $n_m$とする。

   例題では，$X_{i} \gt Y_{i}$ は $7$ 組，$X_{i} \lt Y_{i}$ は $2$ 組なので，$n_p = 7$，$n_m = 2$ である。

4. 帰無仮説のもとでは $n_p = n_m$ となる。
   検定は「母比率$\ = 0.5$ の二項検定」になる（ケース数$\ = n_p + n_m$，母比率$\ = 0.5$ の母比率の検定）。

5. 以下のいずれかの方法をとる。
   • $n_p + n_m$ が小さい場合（二項検定により正確な有意確率を求める）
     1. $N = n_p + n_m$，$m = \min (n_p, n_m)$ とする。

        例題では，$N = 9$，$m = 2$ である。

     2. 次式で有意確率を求める。

        \[ P = 2 \sum_{i=0}^m {}_N C_i\ \left ( \frac{1}{2} \right )^N \] 例題では，$\displaystyle P = \frac{2\ ( {}_{9}C_{0} + {}_{9}C_{1} + {}_{9}C_{2} )}{2^{9}} = 0.1796875$ となる。

   • $n_p + n_m$ が大きい場合（正規分布による近似）
     1. 次式で検定統計量を計算する。$Z_{0}$ は，正規分布に従う。

        \[ Z_0 = \frac{\left | n_p - n_m \right |}{\sqrt{n_p + n_m}} \] 連続性の補正は， \[ Z_0 = \frac{\left | n_p - n_m \right |-1}{\sqrt{n_p + n_m}} \] ただし， $\left | n_p - n_m \right | = 0$ のときは $Z_{0} = 0$ とする。

        例題では，連続性の補正を行った場合，$Z_{0} = 1.33333$ となる。

     2. 有意確率を $P = \Pr\{｜Z｜ \geqq Z_{0}\}$ とする。
        正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。

        例題では，$N$ が小さいので正規分布で近似するのは無理があるが，連続性の補正を行った場合，$\Pr\{｜Z｜\geqq 1.96\}= 0.05$ なので，$P = \Pr\{｜Z｜ \geqq 1.33333\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.1824235$）。

6. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母代表値に差があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母代表値に差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「母代表値に差があるとはいえない」。

演習問題：

応用問題：