対応のある 2 変数の組について，代表値に差があるか検定する。

　ウィルコクソンの符号付順位和検定では，2 変数のとる値の差が定義でき，かつ，差の順位付けができなければならない（この条件が満たされないときには符号検定を用いること）。

例題：

　「10 人の被検者について，ある測定値を得た。同じ被検者に対して，1 年後にもう一度測定した。その結果を表 1 に示す。1 年間で母代表値に差があったかどうか検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. $n$ ケースの，対応のある 2 変数を $X_{i}$，$Y_{i}$，両者の差を $d_{i} = X_{i} - Y_{i}$ とする（$i = 1, 2, \dots , n$）。

   例題では，$n = 10$，$d_{1} = -4$，$d_{2} = 17$，$\dots$，$d_{10} = 19$ である（表 1 の 4 行目）。

3. $X_{i} - Y_{i}$ の絶対値の小さい方から順位をつける。ただし，$X_{i}=Y_{i}$ の組は除く。
   同順位の場合は平均順位をつける。

   例題では，表 1 の 5 行目。

4. $X_{i} > Y_{i}$ の組の順位の和と $X_{i} < Y_{i}$ の組の順位の和のうち，小さい方を検定統計量 $T$ とする。

   例題では，
   $X_{i} > Y_{i}$ の組に付けられた順位の和は $7 + 6 + 9 = 22$
   $X_{i} < Y_{i}$ の組に付けられた順位の和は $4 + 8 + 3 + 1.5 + 5 + 1.5 = 23$
   となるので，$T = 22$ である。

5. 以下のいずれかの方法をとる。
   • $X_{i} \ne Y_{i}$ の組の数 $N$ が小さいとき
     1. 統計数値表を参照して棄却限界値を求める。

        例題では，$N = 9$ であり，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすると，棄却限界値は $5$ である（両側検定の場合には，有意水準 $5\%$ で検定をするならば，統計数値表で $\alpha=0.025$ の列を見ること）。

        $N \leqq 50$ ならば，ウィルコクソンの符号付順位和検定統計量の分布を参照することにより，正確な有意確率を求めることができる。

     2. 帰無仮説の採否を決める。
        • 検定統計量 $>$ 棄却限界値ならば，帰無仮説は棄却できない。「母代表値に差があるとはいえない」。
        • 検定統計量 $\leqq$ 棄却限界値ならば，帰無仮説を棄却する。「母代表値に差がある」。

        例題では，「検定統計量 $>$ 棄却限界値」 なので，帰無仮説は棄却できない。すなわち「母代表値に差があるとはいえない」。

   • $X_{i} \ne Y_{i}$ の組の数 $N$ が大きいとき（正規分布による近似）
     1. 次式で検定統計量 $Z_{0}$ を計算する。$Z_{0}$ は，正規分布に従う。

        \[ Z_0 = \frac{\displaystyle \left |T-\frac{N\ (N+1)}{4} \right |}{\sqrt{\displaystyle \frac{N\ (N+1)\ (2N+1)}{24}}} \] 試みに，例題では，$Z_{0} =0.05923$ である。

     2. 有意確率を $P = \Pr\{| Z | \geqq Z_{0}\}$ とする。
        正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。

        例題では，$\Pr\{| Z | \geqq 1.96\}= 0.05$ なので，$P = \Pr\{| Z | \geqq 0.05923\}> 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.95277$）。

     3. 帰無仮説の採否を決める。
        • $P > \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母代表値に差があるとはいえない」。
        • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母代表値に差がある」。

        例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P > \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「代表値に差があるとはいえない」。

演習問題：

応用問題：