例題：

　「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。

2. $k$ 群の標本において，各群のケース数を $n_j\ (j = 1,2,\dots,k);\ \ n = \displaystyle \sum_{j=1}^k n_j$ とする。

3. $n$ 個の観測値を全てこみにして小さい方から順位をつける（同順位がある場合には平均順位をつける）。

   例題では次の表のようになる。

   表 2．餌の種類による肝臓の重量の順位

   A餌	3	10	12	9
   B餌	1	6	5	4	2
   C餌	7	8	11

4. 第 $j$ 群の第 $i$ ケースの順位を $r_{ij}$ とし，第 $j$ 群の順位の和を $R_j = \displaystyle \sum_{i=1}^{n_j} r_{ij}$ とする（$\displaystyle \sum_{j=1}^k R_j = \frac{n ( n + 1 )}{2}$）。

   例題では，$R_1 = 34$，$R_2 = 18$，$R_3 = 26$ である。

5. 次式で検定統計量 $S_x$ を計算する。

   \[ S_x = \frac{12 \displaystyle \sum_{j=1}^k \frac{R_j^2}{n_j}}{n(n+1)}-3(n+1) \] 注：同順位が多い場合には，検定統計量 $S_x$ の修正が必要である。
   $m$ 種類の同順位があったとき，それぞれの同順位の個数を $t_j\ ( j = 1, 2, \dots , m )$とする。例えば，順位が 5 となるものが 4 個，順位が 11 となるものが 5 個あった場合には，$m = 2$，$t_1 = 4$，$t_2 = 5$。

   \[ C = 1-\frac{\displaystyle \sum_{j=1}^m \left (t_j^3-t_j\right )}{n(n^2-1)} \] \[ S_0 = \frac{S_x}{C} \] 例題では，$\displaystyle S_x = \frac{12 \left (\displaystyle \frac{34^2}{4} + \frac{18^2}{5} + \frac{26^2}{3} \right )} {12 \ ( 12 + 1 ) } - 3 \ ( 12 + 1 ) = 5.54872$ となる（同順位はないので補正は必要ない。）。

6. $S_0$（または $S_x$） は，自由度が $k - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   例題では，$S_x$ は，自由度 $2$ の $\chi^2$ 分布に従う。

7. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq S_0\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $2$ の $\chi^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 5.99\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 5.54872\} > 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.06239$）。

8. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P > \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母代表値に差があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母代表値に差がある」。

   注：群の数が $3$ または $4$ で全ケース数が少ない場合には，統計数値表（$k = 3$ のとき，$k = 4$ のとき）を参照すれば正確な検定結果が得られる。
   $S_0$ が，表から得られる棄却限界値より大きいときに帰無仮説を棄却する。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P > \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「母代表値に差があるとはいえない」。

   統計数値表からは，棄却限界値 $5.6564$ が得られるので，$S_x = 5.54872 < 5.6564$ ゆえ，同じ結果となる。

対比較の手順:

　全体の代表値の差の検定が有意なときには，シェッフェの方法による対比較を行える。

1. 全順位の平均値は $\bar{a} = \displaystyle \frac{n+1}{2}$ である。

   例題の場合，$\displaystyle \frac{12 + 1}{2} = 6.5$ である。

2. 各群の順位の平均を $\bar{R}_j = \displaystyle \frac{R_j}{n_j}$ とする。

   例題の場合，それぞれ，$8.5$，$3.6$，$8.666667$ である。

3. 各群の順位の分散を $V = \displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (r_{ij}-\bar{a})^2}{n-1}$ とする。
   例題の場合，$\displaystyle \frac{ ( 3 - 6.5 )^{2} + ( 10 - 6.5 )^{2} + \dots + ( 11 - 6.5 )^{2} } { 12 - 1 } = 13$

4. $i$ 群と $j$ 群の対比較のための検定統計量 $S_{ij}$ を次式で計算する。

   \[ S_{ij} = \frac{\left (\bar{R}_i-\bar{R}_j \right )^2}{V\ \displaystyle \left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j} \right )} \] 例題において，1 群と 2 群の比較は，$S_{12} = \displaystyle \frac{( 8.5 - 3.6 )^2} {13 \ \left( \displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) } = 4.104274$

5. $S_{ij}$ は，自由度が $k - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。
   例題では，自由度は $3 - 1 = 2$

6. 有意確率を $P_{ij} = \Pr\{\chi^2 \geqq S_{ij}\}$ とする。
   例題において，1 群と 2 群の比較では，$P_{12} = \Pr\{\chi^2 \geqq 4.104274 \}= 0.128460$

7. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P_{ij} > \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「$i$ 群と $j$ 群の母代表値に差があるとはいえない」。
   • $P_{ij} \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「$i$ 群と $j$ 群の母代表値に差がある」。

   例題の場合は $P_{12} > \alpha$ ゆえ，帰無仮説は棄却できない。「$1$ 群と $2$ 群の母代表値に差があるとはいえない」。

　全ての群の組合せについて対比較を行ったときでも，検定全体の危険率が $\alpha$ 以下であることが保証される。

R で計算してみる

演習問題：

　「4 つの群についてある測定をおこなったところ，表 3 のような結果が得られた。代表値に差があるか有意水準 5% で検定しなさい。また，多重比較を行いなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母代表値に差はない
b：母代表値に差がある

解答欄：　　　　

問題2　検定統計量 $S_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　求められた $S_0$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題5　有意水準 5% で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題6　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母代表値に差があるとはいえない
b：母代表値に差がある

解答欄：　　　　

問題7　第 1 群と第 2 群の代表値の比較をするときの $S_{12}$ 検定統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題8　第 1 群と第 2 群の代表値に差はあるといえるだろうか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母代表値に差があるとはいえない
b：母代表値に差がある

解答欄：　　　　

R で計算してみる

応用問題：