例題：

　「表 1 のような観察値が得られた。両群の母代表値に差があるかどうか検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「2 群の母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「2 群の母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 2 群のケース数をそれぞれ $n_1$，$n_2$，また，$n = n_1 + n_2$ とする。

   例題では，$n_1 = 4$，$n_2 = 5$，$n = 9$ である。

3. 2 群をこみにして観察値を小さい順に並べ，小さい方から順位をつける。
   同順位がある場合には平均順位をつける。

   例題では，表 2 のようになる。

   表 2．順位付け

   観察値	1.2	1.3	1.5	1.8	1.9	2.6	2.9	3.1	3.9
   順位	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   群別	1	2	1	1	2	1	2	2	2

4. 各群ごとに，付けられた順位の和 $R_{1}$，$R_{2}$ を求める。

   例題では，
   第 1 群に属する観察値に付けられた順位の和
   　　$R_{1} = 1 + 3 + 4 + 6 = 14$
   第 2 群に属する観察値に付けられた順位の和
   　　$R_{2} = 2 + 5 + 7 + 8 + 9 = 31$
   となる。

5. 検定統計量 $U_{1}$，$U_{2}$ を求める。

   $U_{1} = n_1\ n_2 + \displaystyle \frac{n_1\ (n_1+1)}{2}-R_{1}$

   $U_{2} = n_1\ n_2 + \displaystyle \frac{n_2\ (n_2+1)}{2}-R_{2}$

   注：並べ替えたり，平均順位をつけたりするのは面倒くさい。$U$ 統計量を求める手順として別のやり方もある。

6. 例題では，$U_{1} = 16$，$U_{2} = 4$ となる。

7. 統計数値表を引く都合上，検定統計量は $U_{0} = \min(U_{1}, U_{2})$ とする。

   例題では，$U_{0} = 4$ である。

8. 統計数値表が利用できるかどうかで，以下のいずれかを選択する。
   • ケース数が小さい場合
     1. 統計数値表を参照して棄却限界値を求める。

        例題では，$5\%$ の有意水準で検定を行うとき，棄却限界値は $1$ である。

     2. 帰無仮説の採否を決める。
        • $U_{0} \gt\ $棄却限界値のとき，帰無仮説は棄却できない。「$2$ 群の母代表値に差があるとはいえない」。
        • $U_{0} \leqq\ $棄却限界値のとき，帰無仮説を棄却する。「$2$ 群の母代表値に差がある」。

        例題では，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「$2$ 群の母代表値に差があるとはいえない」。

     注：同順位がある場合には，統計数値表は使用できないので，「ケース数が大きい場合」の正規化検定を援用する。ただし，ケース数がある程度大きくなければ近似的な検定結果が得られるにすぎない。

   • ケース数が大きい場合
     1. 検定統計量 $U$ の平均値は $E(U) = \displaystyle \frac{n_1\ n_2}{2}$，分散は $V(U) = \displaystyle \frac{n_1\ n_2\ ( n + 1)}{12}$ ゆえ，次式の $Z_{0}$ は，正規分布に従う。

        \[ Z_0 = \frac{\left | U - E(U) \right |}{\sqrt{V(U)}} \]

     2. 有意確率を $P = \Pr\{| Z | \geqq Z_{0}\}$ とする。
        正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。

     3. 帰無仮説の採否を決める。
        • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「$2$ 群の母代表値に差があるとはいえない」。
        • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「$2$ 群の母代表値に差がある」。

     注：同順位がある場合には，$Z_{0}$ を求める式中の分散 $V(U)$ を修正しなければならない。
     同順位となる値が $m$ 種類あり，それぞれの同順位となる値の数（同順位の大きさ）を $t_{i}\ (i = 1，2，... ，m)$としたとき，分散 $V(U)$ は次式で表される。

     \[ V(U) = \frac{n_1\ n_2}{12\ (n^2-n)} \left \{n^3-n-\sum_{i=1}^m (t_i^3-t_i) \right \} \]

演習問題：

　「A，B 薬の治療効果を比較した結果が表 3 のように与えれれている。2 群の母代表値の差を有意水準 $5\%$ で両側検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：治療効果に差はない
b：治療効果に差がある

解答欄：　　　　

問題2　「著効」であった $8$ 例に与えるべき平均順位を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　検定統計量 $U_{0}$ を求め解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　検定統計量 $U_{0}$ の平均値 $E(U)$ を求め解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題5　検定統計量 $U_{0}$ の分散 $V(U)$ を求めなさい。答えは，小数点以下 4 桁目で四捨五入て解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題6　検定統計量 $Z_{0}$ を求めなさい。答えは，小数点以下 3 桁目で四捨五入て解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題7　有意確率は $0.05$ より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題8　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題9　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：治療効果に差があるとはいえない
b：治療効果に差がある

解答欄：　　　　

問題10　このデータに対して「独立性の検定（$\chi^2$ 検定）」を行ってみなさい。結果はどうなったか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：治療効果に差があるとはいえない
b：治療効果に差がある

解答欄：　　　　

問題11　なぜそうなったか考えなさい。

R で計算してみる

応用問題：