1. effect size r に関する meta-analysis の目的は
   1. population effect size の決定

   2. 一様性の決定

2. sampling error について　　　Schmidt-Hunter 法 (Hunter et al. 1982)
   1. sampling error variance　　$s^{2}_{e}$

      \[ s^2_e = \frac{\left (1-r^2_w\right )^2}{N} \] $r_{w}$：各相関係数の重みつき平均
      $k$： 研究の数
      $N$： サンプルサイズの合計

   2. observed variance　　$s^{2}_{r}$

   3. population variance (residual variance)　$s^{2}_{res}$

      residual standard deviation　　　　　　　$s_{res} = \sqrt{s^2_{res}}$

   　以上３つの量において，次式が成り立つ。

   \[ s^2_{res} = s^2_r-s^2_e \] 　望ましいのは，$s^{2}_{res} = 0$ となること。あるいは，一様性の指標 $\displaystyle \frac{s^{2}_{r}}{s^{2}_{e}} \times 100(\%$) が 100% になること。

3. population effect size は，データが一様である場合にのみ信頼できる。

   一様性については以下の基準を考える。

   1. Hunter らは，sampling variance が，少なくとも 7$5\%$ 以上であればよいとした。

   2. 一様性の検定もある（スネデカー・コクランの本にあるものと同じようなものか？）

   3. population variance (residual variance) の値そのものの大きさ。（これが一番重要）

   no06 の例では，

   　　observed variance   $s^{2}_{r} = 0.01985$
       sampling error variance   $s^{2}_{e} = 0.00548$
       population variance (residual variance)  $s^{2}_{res} = 0.1437$

   であり，$s^{2}_{e}$ は，$s^{2}_{r}$ の 28% に過ぎないことがわかる。

   注：本文中の数値と後述の R による計算結果があわない!? どうも，ミスプリントのようだ。

   　　$s^{2}_{r} = 0.0199359$
   

   統計量	effect size $r$	$s^{2}_{e}$	%
   単純平均	0.379	0.005737	28.8
   Fisher	0.388	0.005640	28.3
   重みつき平均	0.374	0.005783	29.0
   重みつき Fisher	0.383	0.005692	28.5

   一様性の検定では，カイ二乗値$ = 28$, $d.f. = 7$ で，帰無仮説は棄却される。

   注：スネデカー・コクランの本にあるものによると，これとはちょっと違うが同じような結果になる。

       　　カイ二乗値 ・・・・・・・      27.38226
   　　　　自由度 ・・・・・・・・・             7
   　　　　Ｐ値 ・・・・・・・・・・     0.0002844  **
   　　　　母相関係数の推定値 ・・・     0.3831321

   　以上の結果から一様性は疑わしいので，meta-analysis により系統的な変動要因について検討することになる。

4. クラスター分析によって相関係数のクラスターを作るとよい。

   どうも普通のクラスター分析と違うみたいだが，むりやり普通の方法を採用してみると（相関係数の値を目で見ただけでもわかるが），

                       平方距離（Ward 法）
         0     0.0409    0.0818     0.123     0.164     0.204     0.245     0.286
         +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
   
       1 |
         |---|
       2 |   |
         |   |-----------------------------------------------------------------|
       4 |   |                                                                 |
             |                                                                 |
       3 ----|                                                                 |
                                                                               |
       5 -|                                                                    |
          |                                                                    |
       6 ||--------------------------------------------------------------------|
         ||
       7 ||
         |
       8 |

   のようになる。データ 1,2,3,4 と 5,6,7,8 の二つのクラスターがあると考えられる。

5. 各クラスターのデータについて，今までと同じ分析を行う。

   　ここで示された数値が合わない（全体の分析と同じく）。Hunter et al. (1982)を見ないとダメか(^_^;)。どうも，本文のミスプリントみたいだ。

6. また，各クラスターに共通する特性を検討することにより，moderator variable の存在についての知見が得られる。

参考文献

1. Hunter, J. E., Schmidt, F. L., & Jackson, G. B. (1982).
   Meta-analysis. Cummulating research findings across studies.
   Beberly Hills, CA: Sage.

　上の解析を R で書くと次のようになる。

# 相関係数の統合 effect size r　-- 2
{
n <- c(131, 129, 111, 119, 155, 121, 112, 145)
r <- c(0.51, 0.48, 0.60, 0.46, 0.30, 0.21, 0.22, 0.25)
Z <- atanh(r)
print(data.frame(n, r, Z))
k <- length(r)
N <- sum(n)
s2.r <- var(r)*(k-1)/k
func <- function(str, r) {
	x <- ((1-r^2)^2*k)/N
	cat(str, "=", r, "  s2_e =", x, "  % =", x/s2.r*100, "\n")
}
func("単純平均", mean(r))
func("Fisher", tanh(mean(atanh(r))))
func("重みつき平均", sum(n*r)/sum(n))
func("重みつき Fisher", tanh(sum(n*atanh(r))/sum(n)))
}

    n    r         Z
1 131 0.51 0.5627298
2 129 0.48 0.5229843
3 111 0.60 0.6931472
4 119 0.46 0.4973113
5 155 0.30 0.3095196
6 121 0.21 0.2131713
7 112 0.22 0.2236561
8 145 0.25 0.2554128

単純平均 = 0.37875   s2_e = 0.005737441   % = 28.77939 
Fisher = 0.3882532   s2_e = 0.005640208   % = 28.29166 
重みつき平均 = 0.374262   s2_e = 0.005782804   % = 29.00694 
重みつき Fisher = 0.3832525   s2_e = 0.00569157   % = 28.54929