複数個の相関係数の同等性の検定と母相関係数の点推定

          Last modified: Feb 05, 2004


例題

 「表 1 に示す 5 個の標本相関係数について同等性の検定を行い,もし同等とみなせるならば母相関係数の点推定値を求めなさい。」

表 1.5 個の相関係数
標本の大きさ 標本相関係数
10 0.658
16 0.285
8 0.569
29 0.427
36 0.374


母相関係数の同等性の検定は以下のように行う。
  1. 前提

  2. 第 $i$ 標本のケース数および標本相関係数 を $n_i$,$r_{i}$ とし,$V_{i}=n_i - 3$ とする。

  3. $k$ 個の標本相関係数の $Z$ 変換値を $Z_{i}$ とする。

    \[ Z_i = f(r_i) =\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+r_i}{1-r_i} \right) \]

    表 2.複数個の相関係数の同等性の検定と母相関係数の点推定
    $n_i$ $r_{i}$ $V_{i}$ $Z_{i}$ $V_{i}\ Z_{i}$ $V_{i}\ Z_{i}^{2}$
    10 0.658 7 0.78928 5.52495 4.36072
    16 0.285 13 0.29312 3.81050 1.11692
    8 0.569 5 0.64604 3.23021 2.08686
    29 0.427 26 0.45622 11.86177 5.41160
    36 0.374 33 0.39307 12.97116 5.09852

    合計 84 2.57772 37.39860 18.07461

  4. 次式により,検定統計量 $\chi^2_0$ を求める($\sum V_{i}\ Z_{i}^{2}$,$\sum V_{i}\ Z_{i}$,$\sum V_{i}$ は,表 2 の合計行にある)。 \[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^k V_i\ Z_i^2 - \frac{\left( \displaystyle \sum_{i=1}^k V_i\ Z_i \right)^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^k V_i} \] 例題では,$\chi^2_0 = 1.42396$ となる。

  5. $\chi^2_0$ は,自由度が $k - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

    例題では,自由度 $4$ の $\chi^2$ 分布に従う。

  6. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi^2_0\}$ とする。
    $\chi^2$ 分布表,または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

    例題では,自由度 $4$ の $χ^2$ 分布において,$\Pr\{\chi^2 \geqq 9.49\}= 0.05$ であるから,$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 1.42396\}\gt 0.05$ である(正確な有意確率:$P = 0.84002$)。

  7. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では,有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば($\alpha = 0.05$),$P \gt \alpha$ であるから,帰無仮説は棄却できない。すなわち,「母相関係数は異なるとはいえない」。


同等性の検定で帰無仮説が棄却されなかったときには,$k$ 個の標本相関係数に基づいて $1$ 個の母相関係数を推定できる。

母相関係数の点推定は以下のように行う。


  1. 次式により,$k$ 個の標本相関係数の $Z$ 変換値の重み付け平均値 $Z_{m}$ を求める($\sum V_{i}\ Z_{i}$,$\sum V_{i}$ は,表 2 の合計行にある)。 \[ Z_m = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k V_i\ Z_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^k V_i} \] 例題では,$Z_{m} = 0.44522$ である。

  2. フィッシャーの $Z$ 変換の逆変換(次式)により,母相関係数の点推定値 $f ^{-1} ( Z_{m} )$ を得る。 \[ r = f^{-1}(Z_m) = \frac{\exp(2\,Z_m)-1}{\exp(2\,Z_m)+1} \] 例題では,点推定値は $f ^{-1} (0.44522) = 0.41796$ となる。


演習問題

 「2 種類の人工飼料で飼育された魚の体長と体重の相関係数を調べた。飼料 A で飼育された 45 匹での相関係数は 0.658,飼料 B で飼育された 36 匹での相関係数は 0.316 であった。相関係数に差があるといえるかどうか検定しなさい。」


問題1 帰無仮説はどれか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:相関係数に差はない b:相関係数に差がある
解答欄:    

問題3 検定統計量 $\chi^2_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題4 求められた $\chi^2_0$ 検定統計量は,自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか,答えを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題5 有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:0.05 より大きい b:0.05 より小さい
解答欄:    

問題6 有意水準 $5\%$ で検定を行うとき,帰無仮説は棄却できるかできないか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:棄却できる b:棄却できない
解答欄:    

問題7 最終的な結論はどうなるか。a,b のいずれかを解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢 a:相関係数に差があるとはいえない b:相関係数に差がある
解答欄:    

応用問題


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