Last modified: Feb 05, 2004

例題：

　「表 1 に示す 5 個の標本相関係数について同等性の検定を行い，もし同等とみなせるならば母相関係数の点推定値を求めなさい。」

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母相関係数は全て等しい　$\rho_{1}=\rho_{2}=\dots=\rho_{k}=\rho$」
   • 対立仮説 $H_1$：「母相関係数は異なる（帰無仮説の等号が少なくとも一つは成り立たない）」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（二つの相関係数の差の検定の場合には片側検定も可能）。

2. 第 $i$ 標本のケース数および標本相関係数 を $n_i$，$r_{i}$ とし，$V_{i}=n_i - 3$ とする。

3. $k$ 個の標本相関係数の $Z$ 変換値を $Z_{i}$ とする。

   \[ Z_i = f(r_i) =\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+r_i}{1-r_i} \right) \]

   表 2．複数個の相関係数の同等性の検定と母相関係数の点推定

   $n_i$	$r_{i}$	$V_{i}$	$Z_{i}$	$V_{i}\ Z_{i}$	$V_{i}\ Z_{i}^{2}$
   10	0.658	7	0.78928	5.52495	4.36072
   16	0.285	13	0.29312	3.81050	1.11692
   8	0.569	5	0.64604	3.23021	2.08686
   29	0.427	26	0.45622	11.86177	5.41160
   36	0.374	33	0.39307	12.97116	5.09852
   	合計	84	2.57772	37.39860	18.07461

4. 次式により，検定統計量 $\chi^2_0$ を求める（$\sum V_{i}\ Z_{i}^{2}$，$\sum V_{i}\ Z_{i}$，$\sum V_{i}$ は，表 2 の合計行にある）。 \[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^k V_i\ Z_i^2 - \frac{\left( \displaystyle \sum_{i=1}^k V_i\ Z_i \right)^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^k V_i} \] 例題では，$\chi^2_0 = 1.42396$ となる。

5. $\chi^2_0$ は，自由度が $k - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

   例題では，自由度 $4$ の $\chi^2$ 分布に従う。

6. 有意確率を $P = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi^2_0\}$ とする。
   $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $4$ の $χ^2$ 分布において，$\Pr\{\chi^2 \geqq 9.49\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{\chi^2 \geqq 1.42396\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.84002$）。

7. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母相関係数が異なるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母相関係数は異なる」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「母相関係数は異なるとはいえない」。

母相関係数の点推定は以下のように行う。

1. 次式により，$k$ 個の標本相関係数の $Z$ 変換値の重み付け平均値 $Z_{m}$ を求める（$\sum V_{i}\ Z_{i}$，$\sum V_{i}$ は，表 2 の合計行にある）。 \[ Z_m = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k V_i\ Z_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^k V_i} \] 例題では，$Z_{m} = 0.44522$ である。

2. フィッシャーの $Z$ 変換の逆変換（次式）により，母相関係数の点推定値 $f ^{-1} ( Z_{m} )$ を得る。 \[ r = f^{-1}(Z_m) = \frac{\exp(2\,Z_m)-1}{\exp(2\,Z_m)+1} \] 例題では，点推定値は $f ^{-1} (0.44522) = 0.41796$ となる。

演習問題：

　「2 種類の人工飼料で飼育された魚の体長と体重の相関係数を調べた。飼料 A で飼育された 45 匹での相関係数は 0.658,飼料 B で飼育された 36 匹での相関係数は 0.316 であった。相関係数に差があるといえるかどうか検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：相関係数に差はない
b：相関係数に差がある

解答欄：　　　　

問題3　検定統計量 $\chi^2_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　求められた $\chi^2_0$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題5　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題6　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題7　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：相関係数に差があるとはいえない
b：相関係数に差がある

解答欄：　　　　

応用問題：