「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---030

★ ポアソン確率密度関数の逆関数？ ★

4064.　ポアソン確率密度関数の逆関数？　関根　2004/08/26 (木) 02:47
├4103.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　元サムライ名物学生　2004/08/29 (日) 16:36
│└4105.　Re^2: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　2004/08/29 (日) 20:07
├4102.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　元サムライ名物学生　2004/08/29 (日) 16:18
├4101.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　元サムライ名物学生　2004/08/29 (日) 16:14
│└4106.　Re^2: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　2004/08/30 (月) 09:00
│　└4107.　Re^3: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　2004/08/30 (月) 09:09
└4066.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　2004/08/26 (木) 08:14

4064.　ポアソン確率密度関数の逆関数？　関根　　2004/08/26 (木) 02:47

初めて投稿します。内容はポアソン分布に関連する質問です。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/poisson.htmlで説明されているポアソン分布確率密度関数の逆関数のようなものは存在するのでしょうか？
具体的には，十分数の多い製品群からT個のサンプルを抽出して検品した結果不良品が0個であった場合，母集団の不良率が1/N以下である確からしさを求めることは可能でしょうか？
また，別の例として，上記ページで例示されている事故死者数の例題の逆のもの，即ち「人口100万人の都市で，ある一日の事故死者数が0であった場合，事故死にあう一日あたりの確立がp以下である確からしさ」を求めることは可能でしょうか？
以上，ご教示のほど宜しくお願いいたします。

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4103.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　元サムライ名物学生　　2004/08/29 (日) 16:36

最後に，いろいろな意味での統計学やその定義方法があることは承知なのですが，青木先生へのメッセージです。

関根さんの疑問や質問の発端は，そもそもが青木先生のWeb文章を発端としているようで，そこでの「確率密度関数」という術語の使い方そのものが誤りまたは誤解を読者に与えるものであると思うのです。私は日本で統計学の教育を受けていないのでそこのところの詳細はわからないのですが，ポアソンのような「離散分布の場合」にはprobability functionを定義するのであって，連続分布でのprobability density functionとは異なるはずです。

そもそもは，そこのところの違いをはっきりさせないことを発端として，逆関数を求めるのはどうしたらよいか？逆関数は何か？などという途方もない質問が出てくるのであると思われます。

離散分布での「確率密度関数」という記述はWeb全体を通して修正してはいかがでしょう？「密度」という言葉自体がくせもので，今回の質問もそこから生まれたのだと思います。

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4105.　Re^2: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　　2004/08/29 (日) 20:07

用語については，検討します。

R では poisson distributuin について

dpois(x, lambda, log = FALSE)
ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rpois(n, lambda)

の4種が用意されています。
コンピュータによって計算する場合には，必要に応じて正確な（任意の lambda）についての計算ができますので，あらかじめ数表を作るなどは不要でしょう。

用語については，以下のような使われ方になってました。

Details:

The Poisson distribution has density

p(x) = lambda^x exp(-lambda)/x!

for x = 0, 1, 2, .... The mean and variance are E(X) = Var(X) = lambda.

If an element of 'x' is not integer, the result of 'dpois' is zero, with a warning. p(x) is computed using Loader's algorithm, see the reference in 'dbinom'.

The quantile is left continuous: 'qgeom(q, prob)' is the largest integer x such that P(X <= x) < q.

Setting 'lower.tail = FALSE' allows to get much more precise results when the default, 'lower.tail = TRUE' would return 1, see the example below.

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4102.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　元サムライ名物学生　　2004/08/29 (日) 16:18

したがって，離散型なのでそもそも「分布関数」に対する逆関数は与えられて（掲載されていない）統計書がほとんどで，関根さんのおっしゃる確率関数（連続関数の密度関数に相当する）の逆関数も当然掲載されていなないのではないでしょうか？というよりも，コンピューター計算では，先にx=0,1,2,3,4,5,...の値を（必要であれば，細かく区切ったλの値を先に与えたものを数表にしておいて，それを目視またはインデックスピックするだけでしょう。

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4101.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　元サムライ名物学生　　2004/08/29 (日) 16:14

まずもって，ポアソン分布は離散型です。つまりあるパラメータλ（これが平均でもある）に対して，0以上の整数値に対してxが決まれば確率関数（通常は密度関数とは呼ばない）は1対1で決まります。それらの値の中間の値は存在しません。分布関数は，連続ではなく離散分布なので，その値を0からxまで足しあわせた（積分ではなくて和のシグマ）ものとなります。こちらも中間の値はなくて，xが決まればF(x)は決まります。

青木先生ご指摘のような，パラメータや変数の範囲によって，他の連続分布による近似法も有効なのですが，これは手計算や電卓計算の時代の方法です。プログラム計算をするのならば，先に様々な0以上の整数をx＝0,1,2,3,4,....を代入した分布関数数列F(x)=. ,. ,. ,. ,......を作成しておき，その値に近い値の0から始まるインデックスをピックアップするプログラムにするのがよいのではないでしょうか？

実際，私もこの分野のプログラムの経験があるのですが，確かに他の連続分布による近似はそのパラメータと変数の範囲内では「おおよそ」有効なのですが，そもそもが近似であることと，中間の値がそもそもないことから，計算のパフォーマンスはよくない結果に直面しました。もちろん，中間の値がないので，連続分布での答えのようにスパッと答えがでるものではないのですが，その付近で近い値をプログラムでえることができます。

なお，注意したいのは，ポアソン分布の確率関数や分布関数を線分で結んである統計書も内外に多く見受けられますが，あれは便宜上そうあるのであって，xが整数値以外の点に連続している意味ではないので，確率関数の下の面積を求めようとしてはいけません。あくまで，整数の点ごとの値の和がその点xでの分布関数になります。

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4106.　Re^2: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　　2004/08/30 (月) 09:00

> 青木先生ご指摘のような，パラメータや変数の範囲によって，他の連続分布による近似法も有効なのですが，これは手計算や電卓計算の時代の方法です。

標本比率が0や1のときの解は，正規近似でも何でもなく，正確な確率ではないでしょうか。
ポアソン分布は，二項分布のある状態の場合の極限分布（近似分布）ではないでしょうか。

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4107.　Re^3: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　　2004/08/30 (月) 09:09

追加

F 分布に基づく方法は，正確な方法ですよ。

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4066.　Re: ポアソン確率密度関数の逆関数？　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 08:14

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Hiritu/bohiritu-conf.html
の，推定手順の3の p = 0 のときでは？

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