「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---021

★ 標準正規分布に関することです ★

　335　標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/07 (木) 22:10
　　337　Re: 標準正規分布に関することです　　青木繁伸　　2002/11/07 (木) 23:18
　　　339　Re^2: 標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/08 (金) 00:28
　　　　340　Re^3: 標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/08 (金) 01:07
　　　　　341　Re^4: 標準正規分布に関することです　　青木繁伸　　2002/11/08 (金) 11:08
　　　　　　342　Re^5: 標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/08 (金) 13:37

335.　標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/07 (木) 22:10

問題「亀がたくさんいる。その体長の平均は10cm，標準偏差は2cmである。その中から一匹をランダムに捕まえ，その体長を測る。その値をXとしよう。このとき，以下の確率を求めよ。」
(1)Pr{X>10}　(2)Pr{X>5}

（解答）
Xを標準化すると，Z=(X-10)/2

(1)Pr{X>10}=Pr{Z>（10-10）/2}=Pr{Z>0}=0.5
(2)Pr{X>5}=Pr{Z>-2.5}=1-Pr{Z<=-2.5}=1-0.006=0.994

教えて欲しいことなんですが，(2)の「=Pr{Z>-2.5}=1-Pr{Z<=-2.5}」というところです。余事象の確率によって「1-Pr（*）」とやっていることはわかるのですが，だったら，なぜ(1)では余事象の確率が行われていないのかがわかりません。正規分布曲線を見て面積をイメージして，理解すればよいと思うのですが，自分が考えているだけではつじつまが合いません。教えてください。また，サイトや本で，このことに関してわかりやすいものがあれば教えてください。

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337.　Re: 標準正規分布に関することです　　青木繁伸　　2002/11/07 (木) 23:18

> だったら，なぜ(1)では余事象の確率が行われて
> いないのかがわかりません。

Pr{X>10}=Pr{Z>（10-10）/2}=Pr{Z>0}=1-Pr{Z<=0}=0.5
などと書けば余事象の考え方を使ったことになるかもしれないが，わざわざ回りくどく書く意味がないからです。

> 正規分布曲線を見て面積をイメージして，
> 理解すればよいと思うのですが，自分が考えているだけではつじつま
> が合いません。

標準正規分布表を使っているのかコンピュータを使っているのか分かりませんので，どのようにお答えすればいいのかとまどいます。
標準正規分布表といっても，その作成方法が異なるものがあります。
たとえば Excel の normsdist(x) は Pr{Z<x} を返すので，両側検定で使うときには (1-normsdist(x))*2 としなくてはいけないが，R だと pnorm(z, lower=F)*2 でよいとか S だとやっぱり 1-pnorm(z)*2 としなくてはいけないとか，私の作った関数は gxp(x) だけでよいとか。

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339.　Re^2: 標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/08 (金) 00:28

ご回答ありがとうございます。
> Pr{X>10}=Pr{Z>（10-10）/2}=Pr{Z>0}=1-Pr{Z<=0}=0.5
> などと書けば余事象の考え方を使ったことになるかもしれないが，わざわざ回りくどく書く意味がないからです。
平均より大きいものと小さいものは同じ確率だから，余事象の考え方を使わなくても
同じことだからですね。わかりました。
> 標準正規分布表を使っているのかコンピュータを使っているのか分かりません
市販されている本を読み進めていて，標準正規分布表を使っています。

もう少し書き込みたいのですが，500文字が制限だということなのでここで区切ってもう一つレスをつけたいと思います。

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340.　Re^3: 標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/08 (金) 01:07

ある問題なのですが，
「B社の株式収益率はおおむね正規分布に従うものとする。その平均は1%，標準偏差は4%とする。その場合，B社の株式を購入したとき，正の収益をあげることができる可能性は何%くらいであろうか?
（解答）B社の収益率を表す変数をXとする。その時
Pr{X>=0}
=Pr[{（X-1）/4}>={（0-1）/4}]
=Pr{Z>=-0.25}
となる。そこで標準正規分布表をれば，Zが-0.25を上回る確率は1-0.4013=0.5987と約60%だとわかる。」っとあります。
ここでは「Pr{Z>=-0.25}=1-Pr{Z<-0.25}」が続いていると
考えればよいのでしょうか?

「Pr{Z>=-0.25}」が示しているのは
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normdist/hyojunhensa.html
このような正規分布曲線の確率密度関数-0.25より右の面積（確率）示しているのでしょうか?これらの疑問が解決すれば理解できそうです。よろしくお願いします

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341.　Re^4: 標準正規分布に関することです　　青木繁伸　　2002/11/08 (金) 11:08

> ここでは「Pr{Z>=-0.25}=1-Pr{Z<-0.25}」が続いていると
> 考えればよいのでしょうか?

その通りです。

> 「Pr{Z>=-0.25}」が示しているのは
> http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/normdist/hyojunhensa.html
> このような正規分布曲線の確率密度関数-0.25より右の面積（確率）示しているのでしょうか?

その通りです。

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342.　Re^5: 標準正規分布に関することです　　こたつ　　2002/11/08 (金) 13:37

標準正規分布の問題では，正規分布曲線の確率密度関数で区切られたところから端側の面積（確率）を求めて，後で全体である確率1から引くのだと理解しました。標準正規分布表をが示しているのは，確率密度関数で区切られたところから端側の面積であり，「Pr{Z>=-0.25}」のように中央である平均をまたいだ面積を示しているものではない。っということがわかりました。

理解できました，ありがとうございました。もし間違っていたならばご指摘をよろしくお願いします。

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