乱塊法は，対応のあるデータにおける平均値の差の検定である。
　乱塊法は農事研究における圃場試験での伝統的な呼び方であり，表 1 のようなデータを対象としている。

例題：

　「表 1 のようなデータがある。4 種の肥料間で収量に差があるか，また，3 種の品種ごとに差があるか検定しなさい。」

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母平均値の差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母平均値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できない）。

2. $r$ 人の各被験者に $c$ 種の処理を行い，測定値 $X_{ij}\ (i = 1, 2, \dots , r\ ;\ j=1, 2, \dots , c)$ を得たとする。この場合の被験者（一般的には c 種類の処理が施される単位）をブロックと呼ぶ。

   表 2．乱塊法の記号表現

   被験者	処理1	処理2	$\dots$	処理 $c$
   1	$X_{11}$	$X_{12}$	$\dots$	$X_{1c}$
   2	$X_{21}$	$X_{22}$	$\dots$	$X_{2c}$
   ：	：	：	：	：
   $r$	$X_{r1}$	$X_{r2}$	$\dots$	$X_{rc}$

3. 全体の平均を $\mu$，処理 $j$ の平均を $\mu_{\cdot j}$，個体 $i$ の平均を $\mu_{i\cdot }$，誤差を $\epsilon_{ij}$ とすると次式のように表せる。

   \[ X_{ij} = \mu + (\mu_{\cdot j}-\mu) + (\mu_{i\cdot}-\mu) + \epsilon_{ij} \] または，

   \[ (X_{ij}-\mu) = (\mu_{\cdot j}-\mu) + (\mu_{i\cdot}-\mu) + \epsilon_{ij} \]

4. $\mu$，$\mu_{\cdot j}$ ，$\mu_{i\cdot }$ に標本値 $\bar{X}_{\cdot \cdot }$ ，$\bar{X}_{\cdot j}$ ，$\bar{X}_{i\cdot }$ をあてると，次式になる。

   \[ (X_{ij}-\bar{X}_{\cdot \cdot}) = (\bar{X}_{\cdot j}-\bar{X}_{\cdot \cdot}) + (\bar{X}_{i\cdot}-\bar{X}_{\cdot \cdot}) + (X_{ij}-\bar{X}_{\cdot j}-\bar{X}_{i \cdot}+\bar{X}_{\cdot \cdot}) \]

5. 式の両辺を 2 乗して $i$，$j$ について和を求めると，次式が得られる。

   \[ \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c (X_{ij}-\bar{X}_{\cdot \cdot})^2 = r \sum_{j=1}^c (\bar{X}_{\cdot j}-\bar{X}_{\cdot \cdot})^2 + c \sum_{i=1}^r (\bar{X}_{i \cdot}-\bar{X}_{\cdot \cdot})^2 + \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c (X_{ij} - \bar{X}_{\cdot j} - \bar{X}_{i \cdot} + \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 \] この式は，測定値の全変動 $SS_{t}$ が，処理の差 $SS_{c}$ と個体の差 $SS_{r}$ および残差 $SS_{e}$ に分解されることを表している。

   \[ SS_t = SS_c+SS_r+SS_e \]

6. 乱塊法の解析結果を表 3 のような分散分析表で表す。

   表 4．乱塊法の分散分析表

   変動要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   処理の差	$SS_{c}$	$c - 1$	$MS_{c}$	$\displaystyle \frac{MS_{c}}{MS_{e}}$
   個体の差	$SS_{r}$	$r - 1$	$MS_{r}$	$\displaystyle \frac{MS_{r}}{MS_{e}}$
   残差（誤差）	$SS_{e}$	$( c - 1)\ ( r - 1 )$	$MS_{e}$
   全体	$SS_{t}$	$c\ r - 1$	$MS_{t}$

   $MS_{c}$ ，$MS_{r}$ ，$MS_{e}$ ，$MS_{t}$ は，対応する平方和を自由度で割ったもの

   表 5．表 1 のデータの乱塊法による分散分析

   	肥料
   品種	$B_{1}$	$B_{2}$	$B_{3}$	$B_{4}$	平均値
   $A_{1}$	9	17	12	16	13.500
   $A_{2}$	1	21	16	11	12.250
   $A_{3}$	7	19	6	9	10.250
   平均値	5.667	19.000	11.333	12.000	12.000

   偏差平方

   9.000	25.000	0.000	16.000	2.250
   121.000	81.000	16.000	1.000	0.063
   25.000	49.000	36.000	9.000	3.063
   40.111	49.000	0.444	0.000

   分散分析表

   要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値	有意確率
   肥料の差	268.667	3	89.556	5.492	0.037
   品種の差	21.500	2	10.750	0.659	0.551
   残差	97.833	6	16.306
   全体	388.000	11	35.273

7. 処理間の有意差の検定は，$\displaystyle \frac{MS_{c}}{MS_{e}}$ が，第 $1$ 自由度 $c - 1$，第 $2$ 自由度 が $( c - 1 )\ ( r - 1 )$ の $F$ 分布に従うことを利用する。

   例題では，肥料の差についての検定統計量は $F_0 = 5.492$ で，自由度 $(3, 6)$ の $F$ 分布に従う。

8. 個体間の有意差の検定は，$\displaystyle \frac{MS_{r}}{MS_{e}}$ が，第 $1$ 自由度 $r - 1$，第 $2$ 自由度 が $( c - 1 )\ ( r - 1 )$ の $F$ 分布に従うことを利用する。

   例題では，肥料の差についての検定統計量は $F_0 = 0.659$ で，自由度 $(2, 6)$ の $F$ 分布に従う。

9. それぞれの自由度を持つ $F$ 分布において，有意確率を $P = \Pr\{F \geqq $F_0$\}$ とする。
   $F$ 分布表（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.025$，$\alpha = 0.01$，$\alpha = 0.005$），または $F$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，肥料の差については，自由度が $(3, 6)$ の $F$ 分布において，$\Pr\{F \geqq 4.76\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{F \geqq 5.492\}\lt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.037$）。
   品種の差については，自由度が $(2, 6)$ の $F$ 分布において，$\Pr\{F \geqq 5.14\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{F \geqq 0.659\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.551$）。

10. 帰無仮説の採否を決める。
    • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母平均値に差があるとはいえない」。
    • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母平均値に差がある」。

    例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），肥料の差においては $P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「肥料の差はある」。品種の差においては $P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「品種の差があるとはいえない」。

R で計算してみる

演習問題：

　「8 名のボランティアを被検者として，ある薬剤を投与しない場合（0mg），10，20，40，80mg 投与する場合の 5 通りの処置を行い，効果を測定した結果は表 5 のようになった。薬剤の効果があるかどうかを $5\%$ の有意水準で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量により効果に差がある
b：投与量により効果に差はない

解答欄：　　　　

問題2　検定統計量$F_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　有意確率は $0.05$ より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題4　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題5　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量により効果に差がある
b：投与量により効果に差があるとはいえない

解答欄：　　　　

問題6　被験者間に差はあるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：被験者間に差がある
b：被験者間に差があるとはいえない

解答欄：　　　　

R で計算してみる

応用問題：