Last modified: Nov 07, 2002

　二元配置分散分析において，「各水準の繰返し数が等しくなく，周辺度数にも比例しない」という状況は，データ採取後に 2 要因でケースを 2 重分類して要因効果を検討するような場合には最もありうる。
　このようなものを，非直交要因計画といい，要因の主効果が互に独立ではなく，交互作用も主効果と独立ではないので平方和（ 変動 ）の加法性はそのままでは成立しない。要因間に因果的順序がなく，主効果は交互作用よりはるかに大きい場合（ 古典的要因計画法 ）には以下のように分析が行われる。

例題：

　「表 1 のデータについて二元配置分散分析を行いなさい。」

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「要因効果がない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「要因効果がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
     注：意味的に両側検定である。形式的には $F$ 分布の片側確率を使う片側検定である。

2. 解析対象変数の変動が $SS_{t}$ である。

   例題では，$SS_{t} = 415.6$ である。

3. 分析対象変数 $X$ の全変動 $SS_{t}$ は，次式のように $4$ 個の独立な変動に分解できる。

   全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差

   二元配置分散分析の結果は，表 2 のような分散分析表で表される。

   表 2．分散分析表

   変動要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   要因 A	$SS_{a \cdot b}$	$df_{a \cdot b} = a - 1$	$MS_{a \cdot b} = \displaystyle \frac{SS_{a \cdot b}}{df_{a \cdot b}}$	$F_{a \cdot b} = \displaystyle \frac{MS_{a \cdot b}}{MS_{e}}$
   要因 B	$SS_{b \cdot a}$	$df_{b \cdot a} = b - 1$	$MS_{b \cdot a} = \displaystyle \frac{SS_{b \cdot a}}{df_{b \cdot a}}$	$F_{b \cdot a} = \displaystyle \frac{MS_{b \cdot a}}{MS_{e}}$
   交互作用	$SS_{ab}$	$df_{ab} = ( a - 1 )\ ( b - 1 )$	$MS_{ab} = \displaystyle \frac{SS_{ab}}{df_{ab}}$	$F_{ab} = \displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$
   残差	$SS_{e}$	$df_{e} = n_{ \cdot \cdot } - a\ b$	$MS_{e} = \displaystyle \frac{SS_{e}}{df_{e}}$
   全体	$SS_{t}$	$df_{t} = n_{ \cdot \cdot } - 1$

4. 2 要因の加法的効果を $SS_{a,b}$ としたとき 2 要因は非直交であるから，$SS_{a,b} \ne SS_{a} + SS_{b}$ である（ したがって，$SS_{a} + SS_{b} + SS_{ab} + SS_{e} \ne SS_{t}$ である ）。そこで，$SS_{a,b}$ のうち要因 B で説明されない部分を要因 A に割当て，要因 A で説明されない部分を要因 B に割当てる。具体的には，各要因についてダミー変数を用いた重回帰分析を行い，対応する変動を抽出する。

   例題では，要因 A，B の水準の数はそれぞれ 2 であるので，主効果を表すダミー変数はそれぞれ $1$ 個ずつ考えればよい。水準 1 の場合に $1$，水準 2 の場合に $0$ を取るようなダミー変数を考える。また，交互作用を表すダミー変数も $1$ 個考えればよく，要因 A，B とも水準 1 の場合に $1$，そうでない場合に $0$ を取るようなダミー変数を考える。

   重回帰分析に用いるデータ行列は表 3 のようになる。

   表 3．重回帰分析に用いるデータ行列

   水準		観察値 　（従属変数）	ダミー変数（独立変数）
   要因A	要因B		A の主効果	B の主効果	A, Bの 交互作用
   1	1	17	1	1	1
   1	1	16	1	1	1
   1	2	25	1	0	0
   1	2	22	1	0	0
   2	1	18	0	1	0
   2	1	26	0	1	0
   2	2	34	0	0	0
   2	2	30	0	0	0
   2	2	34	0	0	0
   2	2	30	0	0	0

5. 要因 A，B およびその交互作用を表す $( a - 1 ) + ( b - 1 ) + ( a - 1 )\ ( b - 1 )$ 個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。これは「飽和モデル」であり，2 つの要因の全ての効果を抽出するものである。重回帰分散分析表の残差平方和の項が $SS_{e}$ である。全てのダミー変数によって説明される平方和の項が $SS_{a,b,ab}$ である。$SS_{t} = SS_{a,b,ab} + SS_{e}$ という関係が成り立つ。

   例題では，飽和モデルとして，A の主効果，B の主効果，A, B の交互作用を表す 3 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。

   表 4 から，残差平方和 $SS_{e} = 53.0$ を得る。

   また，回帰により説明される平方和は $SS_{a,b,ab} = 362.6$ である。

   表 4．飽和モデルの
   回帰分析における分散分析表

   要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   回帰	362.6000	3	120.8667	13.68302
   残差	53.00000	6	8.833333
   全体	415.6000	9

6. 要因 A，B を表す $( a - 1 ) + ( b - 1 )$ 個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。これは要因 A と B の「加法モデル」である。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は $SS_{a,b}$ である。

   例題では，要因 A と B の加法モデルとして，A の主効果，B の主効果を表す 2 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。

   表 5 の回帰により説明される平方和は $SS_{a,b} = 357.4571$ である。

   表 5．加法モデルの
   回帰分析における分散分析表

   要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   回帰	357.4571	2	178.7286	21.51769
   残差	58.14286	7	8.306122
   全体	415.6000	9

7. 要因 A，B の交互作用は，$SS_{ab} = SS_{a,b,ab} - SS_{a,b}$ で定義する。

   例題では，表 4 の回帰により説明される平方和（ $SS_{a,b,ab} = 362.6$ ）と，表 5 の回帰により説明される平方和（ $SS_{a,b} = 357.4571$ ）の差（ $5.142857$ ）が，交互作用の平方和 $SS_{ab} = 362.6 - 357.4571 = 5.1429$ である。

8. 要因 A を表す $( a - 1 )$ 個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は要因 A の主効果 $SS_{a}$ である。

   例題では，要因 A を表す 1 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。

   表 6 の回帰により説明される平方和が $SS_{a} = 180.2667$ である。

   表 6．要因 A の
   回帰分析における分散分析表

   要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   回帰	180.2667	1	180.2667	6.128045
   残差	235.3333	8	29.41667
   全体	415.6000	9

9. 要因 B を表す $( b - 1 )$ 個のダミー変数を独立変数とし，解析対象変数を従属変数とした重回帰分析を行う。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は要因 B の主効果 $SS_{b}$ である。

   例題では，要因 B を表す 1 つのダミー変数を独立変数として重回帰分析を行う。

   表 7 の回帰により説明される平方和が $SS_{b} = 236.0167$ である。

   表 7．要因 B の
   回帰分析における分散分析表

   要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
   回帰	236.0167	1	236.0167	10.51397
   残差	179.5833	8	22.44792
   全体	415.6000	9

10. 加法モデルにより説明される変動のうち，要因 B で説明されない部分を，「B で調整された A の主効果」として $SS_{a \cdot b} = SS_{a,b} - SS_{b}$ で定義する。

    例題では，表 5 の回帰により説明される平方和（ $SS_{a,b} = 357.4571$ ）と，表 7 の回帰により説明される平方和（ $SS_{b} = 236.0167$ ）の差が，$SS_{a \cdot b} = 357.4571 - 236.0167 = 121.4404$ である。

11. 加法モデルにより説明される変動のうち，要因 A で説明されない部分を，「A で調整された B の主効果」として $SS_{b \cdot a} = SS_{a,b} - SS_{a}$ で定義する。

    例題では，表 5 の回帰により説明される平方和（ $SS_{a,b} = 357.4571$ ）と，表 6 の回帰により説明される平方和（ $SS_{a} = 180.2667$ ）の差が $SS_{b \cdot a} =　357.4571 - 180.2667 = 177.1904$ である。

12. 要因 A の有意性の検定は，$F_{a \cdot b}$ が第 $1$ 自由度が $df_{a \cdot b}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

13. 要因 B の有意性の検定は，$F_{b \cdot a}$ が第 $1$ 自由度が $df_{b \cdot a}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

14. 交互作用 の有意性の検定は，$F_{ab}$ が第 $1$ 自由度が $df_{ab}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

15. それぞれの自由度を持つ $F$ 分布において，有意確率を $P = \Pr\{F \geqq F_0\}$ とする。
    $F$ 分布表（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.025$，$\alpha = 0.01$，$\alpha = 0.005$），または $F$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

16. 以上をまとめて分散分析表を完成させる。

    例題では，表 8 のようになる。

    表 8．表 1 のデータに対する分散分析表 - モデル I（ 母数モデル ）

    要因	平方和		自由度	平均平方	$F$値	有意確率
    要因 A	$SS_{a \cdot b}$	121.4405	1	121.4405	13.74798	0.01000
    要因 B	$SS_{b \cdot a}$	177.1905	1	177.1905	20.05930	0.00420
    交互作用	$SS_{ab}$	5.142857	1	5.142857	0.5822102	0.47437
    残差	$SS_{e}$	53.00000	6	8.833333
    合計	$SS_{t}$	415.6000	9	46.17778

17. 帰無仮説の採否を決める。
    • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「要因効果があるとはいえない」。
    • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「要因効果がある」。

    例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），要因 A の効果は， $P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「要因効果がある」とする。要因 B の効果は， $P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「要因効果がある」とする。交互作用は， $P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「交互作用があるとはいえない」。

演習問題：

応用問題：