例題：

　「表 1 のようなデータがある。4 種の肥料間で収量に差があるか，また，3 種の品種ごとに差があるか検定しなさい。」

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「要因効果がない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「要因効果がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
     注：意味的に両側検定である。形式的には $F$ 分布の片側確率を使う片側検定である。

2. 各セルの測定値を $X_{ij}\ ( i = 1, 2, \dots , a\ ;\ j = 1, 2, \dots , b )$ とする。

   例題では，$a = 3$，$b = 4$ である。

3. 分析対象変数 $X$ の全変動 $SS_{t}$ は以下のように $3$ 個の独立な変動に分解できる。

   全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 残差

   $SS_{t} = SS_{a} + SS_{b} + SS_{e}$

   $SS_{a}$ と $SS_{b}$ はそれぞれ要因 A，要因 B の主効果とよばれる。この場合には交互作用はない。これは，乱塊法に他ならない。

   \[ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (X_{ij} - \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 = b\sum_{i=1}^a (\bar{X}_{i\cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 + a\sum_{j=1}^b (\bar{X}_{\cdot j} - \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 + \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (X_{ij} - \bar{X}_{i\cdot} - \bar{X}_{\cdot j} + \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 \]

4. 二元配置分散分析の結果は，表 2 のような分散分析表で表される。

   表 2．分散分析表 - 1

   変動要因	平方和	自由度	平均平方	F値
   要因 A	$SS_{a}$	$df_{a}=a-1$	$MS_{a}=\displaystyle \frac{SS_{a}}{df_{a}}$	$F_{a}=\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{e}}$
   要因 B	$SS_{b}$	$df_{b}=b-1$	$MS_{b}=\displaystyle \frac{SS_{b}}{df_{b}}$	$F_{b}=\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{e}}$
   残差	$SS_{e}$	$df_{e}=(a-1)\ (b-1)$	$MS_{e}=\displaystyle \frac{SS_{e}}{df_{e}}$
   全体	$SS_{t}$	$df_{t}=a\ b-1$

   例題では，表 3 のようになる。

   表 3．例題に対する分散分析表

   要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値	有意確率
   品種	21.50000	2	10.75000	0.6592845	0.55103
   肥料	268.6667	3	89.55556	5.492334	0.03719
   残差	97.83333	6	16.30556
   合計	388.0000	11	35.27273

5. 要因 A の有意性の検定は，$F_{a}$ が第 $1$ 自由度が $df_{a}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

6. 要因 B の有意性の検定は，$F_{b}$ が第 $1$ 自由度が $df_{b}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

7. それぞれの自由度を持つ $F$ 分布において，有意確率を $P = \Pr\{F \geqq F_0\}$ とする。
   $F$ 分布表（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.025$，$\alpha = 0.01$，$\alpha = 0.005$），または $F$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，品種の差については，自由度が $(2, 6)$ の $F$ 分布において，$\Pr\{F \geqq 5.14\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{F \geqq 0.659\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.551$）。
   肥料の差については，自由度が $(3, 6)$ の $F$ 分布において，$\Pr\{F \geqq 4.76\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{F \geqq 5.492\}\lt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.037$）。

8. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「要因効果があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「要因効果がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），品種の差においては $P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「品種の差があるとはいえない」。肥料の差においては $P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「肥料の差がある」。

演習問題：

　「8 名のボランティアを被検者として，ある薬剤を投与しない場合（0mg），10，20，40，80mg 投与する場合の 5 通りの処置を行い，効果を測定した結果は表 4 のようになった。薬剤の効果があるかどうかを $5\%$ の有意水準で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量により効果に差がある
b：投与量により効果に差はない

解答欄：　　　　

問題2　投与量の効果を検定するときの検定統計量 $F_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　有意確率は $0.05$ より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題4　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題5　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：投与量により効果に差がある
b：投与量により効果に差があるとはいえない

解答欄：　　　　

応用問題：