指数曲線  $Y = aX^b$     Last modified: Sep 08, 2009


例題

 「表 1 のに示すようなデータに曲線をあてはめなさい。」

表 1.テストデータ
$X$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$Y$ 2 16 54 128 250 432 686 1024 1458 2000


考え方

  1. 元のデータをプロットすると図 1 のようになる。

    figure

    図 1.元データのプロット

  2. $Y = a\ X^b$ の両辺の対数をとり,$\log Y = \log a + b\ \log X$ とする。

  3. $c = \log a$,$V = \log Y$,$W = \log X$ とおいて,$V = c + b\ W$ なる直線回帰を行えばよい。

    これは,図 1 の縦軸と横軸を対数目盛りで描いたものが図 2 になる(データ点が直線上に並ぶ)ことを意味している。

    表 2.表 1 を変数変換したもの
    $W=\log X$ 0.000 0.693 1.099 1.386 1.609 1.792 1.946 2.079 2.197 2.303
    $V=\log Y$ 0.693 2.773 3.989 4.852 5.521 6.068 6.531 6.931 7.285 7.601

    figure

    図 2.変数変換後のプロット

  4. 求めるパラメータは,$a = \exp c$ となる。

    例題では,図 2 に示したように,$c = 0.6913$,$b = 3$ であるから,
    $a = \exp ( 0.6913 ) = 2$ となる(表 1 のデータは,この定数値に基づいて作成したものである)。


$b \gt 1$ のときは,図 1 のように,右上がりで下に凸の曲線になる。
$1 \gt b \gt 0$ のときは,図 3 のように,右上がりで上に凸の曲線になる。
$b \lt 0$ のときは,図 4 のように,右下がりで下に凸の曲線になる。

figure

図 3.$1 \gt b \gt 0$ のときの曲線の形

   figure

図 4.$b \lt 0$ のときの曲線の形

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