指数曲線  $Y=ab^X$     Last modified: Sep 08, 2009


例題

 「表 1 のに示すようなデータに曲線をあてはめなさい。」

表 1.テストデータ
$X$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$Y$ 3.000 4.500 6.750 10.125 15.188 22.781 34.172 51.258 76.887 115.330


考え方

  1. 元のデータをプロットすると図 1 のようになる。

    figure

    図 1.元データのプロット

  2. $Y=a\ b^x$ の両辺の対数をとり,$\log Y = \log a + X\ \log b$ とする。

  3. $c = \log a$,$d = \log b$,$V = \log Y$ とおいて,$V = c + d\ X$ なる直線回帰を行えばよい。

    これは,図 1 の縦軸を対数目盛りで描いたものが図 2 になる(データ点が直線上に並ぶ)ことを意味している。

    表 2.表 1 を変数変換したもの
    $X$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    $V=\log Y$ 1.099 1.504 1.910 2.315 2.720 3.126 3.531 3.937 4.342 4.748

    figure

    図 2.変数変換後のプロット

  4. 求めるパラメータは,$a = \exp c$,$b = \exp d$ となる。

    例題では,図 2 に示したように,$c = 0.6913$,$d = 0.4055$ であるから,
    $a = \exp ( 0.6913 ) = 2$,$b = \exp ( 0.4055 ) = 1.5$ となる(表 1 のデータは,この定数値に基づいて作成したものである)。


$b \gt 1$ のときは,図 1 のように,右上がりで下に凸の曲線になる。
$1 \gt b \gt 0$ のときは,図 3 のように,右下がりで下に凸の曲線になる。

figure

図 3.1 \gt b \gt 0 のときの曲線の形

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