要素の個数が有限個の集合のことを有限集合 という。

　一般に，有限集合 $A$ に属する要素の個数を $n ( A )$ で表すことにしよう。

　根元事象が全て同じ程度に確からしいとき，事象 $A$ の確率を $\displaystyle \frac{n ( A )}{n ( \Omega )}$ で定義し，これを $\Pr\{A\}$ と書く。

　このように確率を定義すると，明らかに次の事柄が成り立つ。

• 確率の基本的性質
  1. 任意の事象 $A$ に対して，

     \[ 0 \leqq \Pr\{A\} \leqq 1 \] 特に，

     \[ \Pr\{\Omega\} = 1，　\Pr\{\phi\} = 0 \]

  2. 事象 $A$ の余事象を $\bar{A}$ とすれば，

     \[ \Pr\{\bar{A}\} = 1 - \Pr\{A\} \]

     余事象の確率

• 確率の加法定理
  3. 2 つの事象 $A$ と $B$ が互いに排反であるとき，

     \[ \Pr\{A \cup B\} = \Pr\{A\} + \Pr\{B\} \]

     加法定理（排反の場合）

  4. 2 つの事象 $A$ と $B$ について，一般に，

     \[ \Pr\{A \cup B\} = \Pr\{A\} + \Pr\{B\} - \Pr\{A \cap B\} \]

     加法定理（一般の場合）

  　III，IV を 確率の加法定理 と呼ぶ

• 確率の乗法定理

  　一般に，事象 $A$ が起こったという条件のもとで事象 $B$ の起こる確率を，$A$ のもとでの $B$ の 条件付き確率 といい，$\Pr\{B\ |\ A\}$ で表す。ただし，$\Pr\{A\} \ne 0$ とする。

  \[ \Pr\{B\ |\ A\} = \frac{n ( A \cap B ) }{ n ( A ) } = \frac{\Pr\{A \cap B\} }{ \Pr\{A\} } \tag{1} \]

  条件付き確率

  5. 2 つの事象 $A$ と $B$ について，

     \[ \Pr\{A \cap B\} = \Pr\{A\}\ \cdot\ \Pr\{B\ |\ A\} \tag{2} \]

  V を 確率の乗法定理 という。

• 事象の独立・従属

  　一般に，2 つの事象 $A$，$B$ があって，$A$ が起こった場合と，起こらなかった場合とで $B$ の起こる条件付き確率が等しいとき，事象 $B$ は事象 $A$ と 独立 であるという。

  　このとき，$\Pr\{B\ |\ A\} = \Pr\{B\}$ であり，（ 3 ）式がなりたつ。（ 3 ）式は $A$ と $B$ について対称なので，事象 $A$ が事象 $B$ と独立なら，事象 $B$ も事象 $A$ と独立である（ $A$ と $B$ は 互いに独立 である ）。

  　これに対して，$\Pr\{B\ |\ A\}\ne \Pr\{B\}$ のとき，$A$ と $B$ は互いに 従属 である。

  6. 2 つの事象 $A$ と $B$ が互いに独立であるとき，

     \[ \Pr\{A \cap B\} = \Pr\{A\} \ \cdot\ \Pr\{B\} \tag{3} \]

     独立事象がともに起こる確率

  これは，もう一つの 確率の乗法定理 である。

　2 種類の薬剤 A，B がある。A 薬は 70% の患者に有効であり，B 薬は 60% の患者に有効である。また，A 薬，B 薬共に有効な患者は 50% であるとする。
　A 薬が無効であった患者に B 薬を投与すると何% の患者に有効となるか。
　また，B 薬が無効であった患者に A 薬を投与すると何% の患者に有効となるか。

解答：

　A 薬が有効であるという事象を $A$，無効であるという事象を $\bar{A}$ とし，B 薬についても同様に $B$，$\bar{B}$ とする。

　問題は条件付確率 $\Pr\{B\ |\ \bar{A}\}$ および $\Pr\{A\ |\ \bar{B}\}$ を求めることである。

　条件としてわかっていることは，

　　$\Pr\{A\} = 0.7$，　$\Pr\{B\} = 0.6$　および　$\Pr\{A \cap B\} = 0.5$

である。

　ところで，$\bar{A}$，$\bar{B}$ について

\[ \Pr\{\bar{A}\} = \Pr\{\bar{A} \cap B\} + \Pr\{\bar{A} \cap \bar{B}\} \] \[ \Pr\{\bar{B}\} = \Pr\{A \cap \bar{B}\} + \Pr\{\bar{A} \cap \bar{B}\} \] と分解することができる。ここで，

\[ \begin{align*} \Pr\{\bar{A} \cap \bar{B}\} =& \Pr\{\overline{A \cup B}\} \\[5pt] =& 1 - \Pr\{A \cup B\} \\[5pt] =& 1 - ( \Pr\{A\} + \Pr\{B\} - \Pr\{A \cap B\}) \\[5pt] =& 1 - 0.7 - 0.6 + 0.5 \\[5pt] =& 0.2 \end{align*} \] となる。乗法定理の ( 1 ) 式により，

\[ \begin{align*} \Pr\{B\ |\ \bar{A}\} =& \frac{\Pr\{\bar{A} \cap B\}} {\Pr\{\bar{A}\}} \\[5pt] =& \frac{ \Pr\{\bar{A}\} - \Pr\{\bar{A} \cap \bar{B}\}} { \Pr\{\bar{A}\} } \\[5pt] =& \frac{ ( 1 - 0.7 ) - 0.2 } { 1 - 0.7 } \\[5pt] =& \frac{1}{3} \end{align*} \] 同様にして，

\[ \Pr\{A \ |\ \bar{B}\} = \frac{1}{2} \]

演習問題：

　「ある大学では，学生の 60% が男子である。また，学生の 30% の者が自動車通学をしている。男子学生のうち自宅通学の者は 50% である。」

問題1　男子学生で自動車通学をしている学生は大学全体の何パーセントいるか。a，b，c のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：18%
b：30%
c：与えられた情報だけでは答えられない。


解答欄：　　　　

問題2　男子学生で自宅通学をしている者は大学全体の何パーセントいるか。a，b，c のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：30%
b：40%
c：与えられた情報だけでは答えられない。


解答欄：　　　　

応用問題-1：

　23 人について誕生日を調べたとき，誕生日が同じ人が 1 組以上いる確率を求めなさい。 答えは小数点以下 5 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題-2：

　一般に，$n$ 人について表を作りなさい。解答は後でみなさい