順序尺度以上の変数について，2 群の代表値の差を検定する。
　元のデータが正規分布に従うと仮定できる場合に最適である。

例題：

　「表 1 のデータにおいて，二群の代表値に差があるかどうか，$5\%$ の有意水準で検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「2 群の母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「2 群の母代表値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 群をこみにして小さい方から順位をつける。

3. 小さい方から $i$ 番目のケースの正規分布のパーセント点 $z_{i}$ を求める。
   正規分布表，または正規分布のパーセント点の計算を参照すること。

   \[ Z_i = \Phi^{-1}\left ( \displaystyle \frac{i}{n+1} \right ) \] $\Phi^{-1}$ は，正規分布の累積密度関数の逆関数（確率から $Z$ 値を求める）である。

   例題では，表 2 のようになる。

   表 2 van der Waerden 検定の計算表

   データ	順位	群	$\displaystyle \frac{i}{n+1}$	$z_{i}$	$z_{i}^{2}$
   1.2	1	1	0.125	-1.15	1.32
   1.5	2	2	0.250	-0.67	0.45
   1.9	3	1	0.375	-0.32	0.10
   2.5	4	1	0.500	0.00	0.00
   3.1	5	2	0.625	0.32	0.10
   6.7	6	1	0.750	0.67	0.45
   10.5	7	2	0.875	1.15	1.32
   				合計	3.74

4. 第 $1$ 群のデータに対するパーセント点の合計 $S$ を求める。

   \[ S = \sum_{i\ \in\ \textrm{第1群}} z_i \] 例題では，$S = -1.15 - 0.32 + 0.00 + 0.67 = -0.79$ である。

5. $S$ の分散

   \[ V = \frac{n_1\ n_2}{n^2-n} \sum_{i=1}^n z_i^2 \] 例題では，$V = \displaystyle \frac{4 \cdot 3 \cdot 3.74}{49 - 7} = 1.07$ である。

6. $Z_{0}$ は，正規分布に従う。

   \[ Z_0 = \frac{|\ S\ |}{\sqrt{V}} \] 例題では，$Z_0 = \displaystyle \frac{|\ -0.79\ |}{\sqrt{1.07}} = 0.76372$　（正確な値は $0.7665842$）である。

7. 有意確率を $P = \Pr\{｜Z｜ \geqq Z_{0}\}$ とする。
   正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，$P = \Pr\{｜Z｜ \geqq 1.96\}= 0.05$ ゆえ，$P = \Pr\{｜Z｜ \geqq 0.77\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.4433$）。

8. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「$2$ 群の代表値に差があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「$2$ 群の代表値に差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「$2$ 群の代表値に差があるとはいえない」。

　得られた検定統計量から正規偏差を計算して検定するため，いずれかの群のケース数が $20$ 以上でなければ検定結果は不正確である。

R で計算してみる

演習問題：

応用問題：