母平均 $\mu$，母分散 $\sigma^{2}$ である正規分布は， \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\ \pi}\ \sigma} \ \exp \left \{- \frac{(x-\mu)^2}{2\ \sigma^2} \right \} \] で表され，$\mathcal{N} ( \mu, \sigma^{2} )$ と表現する。

　このとき，変数変換 \[ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \] を $X$ の標準化，また $Z$ を標準化得点と呼ぶ。

　$Z = z$ とおくと，$z$ は \[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\ \pi}}\ \exp \left ( -\frac{z^2}{2} \right ) \] に従う。この分布は標準正規分布と呼ばれるもので，母平均が $0$，母分散が $1$ となるので，$\mathcal{N} ( 0, 1 )$ と表現する。

　さらに，原点からの累積密度関数 $\Phi ( z )$ を \[ \Phi(z) = \int_0^z\ f(z) \ dx \] と定義する（場合によっては $\Phi ( z )$ という記法で $-\infty$ からの累積密度関数すなわち $F ( z )$ を表すこともあるので注意）。これを，表 1 に示す。

　累積密度関数 $\Phi ( z )$ と分布関数 $F ( z )$ の間には， \[ F(z) = \left \{ \begin{array}{ll} 0.5+\Phi(z), & z \geqq 0 \\ 0.5-\Phi(z), & z \lt 0 \end{array} \right . \] の関係がある。

　また，$f ( z )$ と $\Phi ( z )$ の性質として，以下のものが挙げられる。

1. 原点に関して対称。すなわち，$f ( z ) = f ( - z )$

2. $\Pr\{ - a \leqq Z \leqq a\} = 2 \Pr\{0 \leqq Z \leqq a\} = 2 \Phi ( a )$

3. $\Phi ( \infty ) = 0.5$，$\Phi ( 0 ) = 0$

4. $a \geqq b \geqq 0$ のとき，$\Phi ( a ) \geqq \Phi ( b )$

5. $a \geqq b \geqq 0$ のとき，$\Pr\{b \leqq Z \leqq a\} = \Phi\{a\} - \Phi\{b\}$

6. $\Pr\{Z \geqq a\} = 0.5 - \Phi ( a )$

例題１：硬貨を 1000 回投げて，表が 550 回以上出る確率は二項分布に従うが，標本サイズが大きいので正規分布に従うものと仮定できる。この確率を求めよ。

例解１：母比率 $p = 0.5$ の二項分布の母平均は $\mu = n\ p = 500$，母分散は $\sigma^{2} = n\ p\ ( 1 - p ) = 250$ である。これより， \begin{align*} \Pr\left \{ X \geqq 550 \right \} & = \Pr \left \{ Z \geqq \frac{550-500}{\sqrt{250}} \right \} \\ & = 1-F(3.16)=0.5-\Phi(3.16)=0.0008 \end{align*} 注：正規分布の上側確率の計算を使用することもできる。
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例題２：A 君の身長は $178$ cm，体重は $60$ kg である。A 君が通学している高校の同一学年での身長の平均値は $168$ cm，標準偏差は $6$ cm であり，体重の平均値と標準偏差はそれぞれ $57$ kg，$5$ kg である。身長と体重が正規分布に従うとしたとき，A 君より身長が高いものと体重が重いものはそれぞれ何%くらいいるだろうか。

例解２：身長および体重の標準化得点はそれぞれ，$1.667$，$0.6$ であるから，表を参照してそれぞれ $4.8\%$，$27.4\%$ である。

注：正規分布の上側確率の計算を使用することもできる。

演習問題：

　「全国共通テストの得点分布は正規分布に従っており，平均点が $56$ 点，標準偏差が $10$ であった。何点以上であれば上位 $5\%$ に入っているだろうか。」

問題1　上位から $5\%$ のものの標準得点はいくつか。答えは小数点以下 3 桁目で切り捨てた値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　問題 1 の答えに対応する得点はいくつか。答えは小数点以下 1 桁目で切り捨て，整数値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：