例題：

　「ある知能テストは，各種集団に実施したとき，平均値は変動するが，同じ年齢のものに適用する限り他の要因にかかわりなく，分散は同じであることが経験的にわかっている。いま 2 群に対して実施した結果，a 群 36 名の平均得点は 82.6 点，不偏分散は 15.3，b 群 43 名の平均得点は 84.5，不偏分散は 16.2 であった。2 群の母平均得点に差があるかどうか，有意水準 $5\%$ で両側検定しなさい。」

検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「2 群の母平均値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「2 群の母平均値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 記号の定義

   $a$ 群，$b$ 群のケース数を $n_a$，$n_b$，平均値を $\bar{X}_a$，$\bar{X}_b$，不偏分散を $U_{a}$，$U_{b}$ とする。

   例題では， $n_a$ = 36，$n_b$ = 43，$\bar{X}_a = 82.6$，$\bar{X}_b = 84.5$，$U_{a} = 15.3$，$U_{b} = 16.2$ である。

3. $2$ 群の分散が等しいかどうかで，以下のいずれかを行う。

   例題では，「分散は同じであることが経験的にわかっている」ので通常の $t$ 検定を行う。

   • 通常の $t$ 検定
     $2$ 群の分散が等しいと仮定できる場合，または，等分散性の検定で帰無仮説が棄却できない場合
     1. $2$ 群をプールした分散の推定値 $U_{e}$ を次式により計算する。

        \[ U_e = \frac{(n_a-1)\ U_a + (n_b-1)\ U_b}{n_a+n_b-2} \] 例題では，$U_{e} = \displaystyle \frac{ ( 36 - 1 )\ 15.3 + ( 43 - 1 )\ 16.2 }{ 36 + 43 - 2 } = 15.79091$ である。

     2. 検定統計量 $t_{0}$ を次式により計算する。

        \[ t_0 = \frac{\left | \bar{X}_a-\bar{X}_b \right |}{\sqrt{U_e\ \left (\displaystyle \frac{1}{n_a}+\frac{1}{n_b} \right ) }} \] 例題では，$t_{0} = 2.1165$ である。

     3. $t_{0}$ は自由度が $\nu = n_a + n_b - 2$ の $t$ 分布に従う。

        例題では，$\nu = 77$ である。

   • Welch の方法による $t$ 検定
     $2$ 群の等分散性が疑わしい場合，または，等分散性の検定で帰無仮説が棄却された場合
     1. 検定統計量 $t_{0}$ を次式により計算する。

        \[ t_0 = \frac{\left | \bar{X}_a-\bar{X}_b \right |}{\sqrt{\displaystyle \frac{U_a}{n_a}+\frac{U_b}{n_b} }} \]

     2. $t_{0}$ は自由度が $\nu$ の $t$ 分布に従う。 \[ \nu = \frac{\left ( \displaystyle \frac{U_a}{n_a}+\frac{U_b}{n_b} \right )^2} {\displaystyle\frac{U_a^2}{n_a^2\ (n_a-1)}+\frac{U_b^2}{n_b^2\ (n_b-1)}} \] 注：上式の $\nu$ は整数値にならないので，補間法により $t_{0}$ の有意確率を求めるか，コンピュータを用いて求める。
        別法としては以下のようにすればよい。小数点以下を切捨てた自由度に対するパーセント点を $t_L$ としたとき，$t_{0} \gt t_L$ ならば帰無仮説を棄却する。小数点以下を切上げた自由度に対するパーセント点を $t_U$ としたとき，$t_U \gt t_{0}$ ならば帰無仮説は棄却できない。$t_L \gt t_{0} \gt t_U$ のときは $t_L$，$t_U$ から補間法によってパーセント点 $t_X$ を求め，$t_X \leqq t_{0}$ なら帰無仮説を棄却，$t_X \gt t_{0}$ なら帰無仮説は棄却できない。

4. 有意確率を $P = \Pr\{｜t｜\geqq t_{0}\}$ とする。
   $t$ 分布表，または $t$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，$t (77，0.05) \lt t (60，0.05) = 2.00 \lt t_{0}$ であるから，$P \lt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.03753$）。

5. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「$2$ 群の母平均値に差があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「$2$ 群の母平均値に差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \lt \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「母平均値に差がある」。

いくつかの注意点

演習問題：

　「ある地区で行った 40 歳以上 65 歳未満の住民検診に来所した男子 42 名，女子 63 名の血色素量についての検査成績は，男子では平均値 15.2 g/dl，不偏分散 1.1，女子では平均値 12.7 g/dl，不偏分散 3.2 であった。男女の平均値に差はあるか，有意水準 $5\%$ で両側検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：男女の平均値に差がある
b：男女の平均値に差はない

解答欄：　　　　

問題2　有意水準を 2$5\%$ として「等分散性の検定」を行った結果はどのようになるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：等分散でないとはいえない
b：等分散ではない

解答欄：　　　　

問題3　検定統計量 t_{0} を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　検定統計量 t_{0} は自由度がいくつの t 分布に従うか。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題5　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題6　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題7　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：男女の平均値に差がある
b：男女の平均値に差があるとはいえない

解答欄：　　　　

応用問題：