線形比較によれば，平均値のあらゆる比較ができる。
　線形比較とは，次式で表される $\theta$ である。

　　　$\theta = c_{1} \mu_{1} + c_{2} \mu_{2} + \dots + c_{k} \mu_{k}$
　　　　ただし，$c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k} = 0$

　例えば，全体で $5$ 群あり，第 $1$，$2$，$3$ 群をこみにしたものと第 $4$，$5$ 群をこみにしたものの比較の場合には， $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 1 / 3$，$c_{4} = c_{5} = -1 / 2$ とする。得られる平均値の線形結合値の信頼区間を求め， 信頼区間に $0$ が含まれない場合には，プールした $2$ 群の平均値に差があるとする。
　なお，対比較も，$c_{i} = 1，c_{j} = -1，c_{a} = 0\ (a \ne i，j)$のようにすれば可能であるが，検出力は対比較の方が高い。
　事前にまとめる群が決まっている場合には $t$ 検定でもよいが，結果をみてから検定を行う場合には線形比較によらなければならない。

例題：

　「5 種類の飼料で飼育した魚の体長の平均値が表 1 のようであった。平均値に差があるといえいるか，有意水準 $5\%$ で検定しなさい。また，多重比較を行いなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母平均値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母平均値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 線形比較の推定値を次式により求める。

   $\hat{\theta} = c_{1} \bar{X}_{1} + c_{2} \bar{X}_{2} + \dots + c_{k} \bar{X}_{k}$
   ただし，$c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k} = 0$

3. $\theta$ の信頼限界を次式により求める。

   ここで用いる $q$ は，検定に使用する有意水準に対応する“ステューデント化した範囲の表”（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.01$）での，群の数および $V_{w}$（群内分散）の自由度に対する値である。なお，対応する自由度が表にない場合には，もよりの $2$ 個の自由度に対する値から，自由度の逆数で比例配分して求める。$n$ は各群のサンプルサイズ $n_i$(i=1, 2, \dots, k)であるが，全て同数である。

   \[ \hat{\theta} \pm q \sqrt{\frac{V_w}{n}} \]

4. 帰無仮説の採否を決める。
   • 信頼区間に $0$ が含まれるとき，帰無仮説は棄却できない。「母平均値に差があるとはいえない」。
   • 信頼区間に $0$ が含まれないとき，帰無仮説を棄却する。「母平均値に差がある」。

   全ての可能な線形比較の結果は，指定された有意水準のもとで正しい。

例題の解：

1. 一元配置分散分析の結果，全体として平均値の差があることがわかる。
   $F_0 = 72.26761$，自由度$\ = (4，95)$，有意確率 $P \lt 0.0001$。

2. 群内分散 $V_{w} = 4.26$，その自由度は $95$ である。

3. “ステューデント化した範囲の表”の，自由度 $60$ のときの $3.98$ と，自由度 $120$ のときの $3.92$ を用いて，自由度の逆数で比例配分して求めると $q = 3.93579$ である（正確な値は $3.932736$）。
4. 第 $1$，$2$，$3$ 群をプールした平均値と，第 $4$，$5$ 群をプールした平均値の差の検定を行うときは，$c_{1} = c_{2} = c_{3} = 1/3$，$c_{4} = c_{5} = -1/2 = -0.5$ とする。

5. $\hat{\theta} ＝\displaystyle \frac{35.6+32.7+29.4}{3}-\frac{27.9+25.7}{2} = 5.766667$ となる。

6. $\theta$ の信頼区間は $5.766667 \pm 3.93579\ \sqrt{\displaystyle \frac{4.26}{20}} = [ 3.950224 , 7.583109 ]$ となり，$0$ を含まないので，母平均値に差があるとする。

7. 多重比較の結果（一部分）は以下のようになる。

演習問題：

応用問題：