本来は各群の例数の等しい場合をテューキーの方法と呼び，例数が等しくない場合に拡張したものをテューキー・クレーマーの方法と呼ぶことが多い。
　古い本には，「各群の例数が等しくない場合にはテューキー・クレーマーの方法は使えない」と書いてあるが，現在（1984年以降）では「対比較を行う場合にはテューキー・クレーマーの方法を使うべきである」ということになっている。

　対比較される二群の分散が等しくない場合には，Welch の方法をとる Games-Howell の方法を用いることもできる。

例題：

　「都道府県を 4 つに分けてそれぞれの群における癌による死亡率（人口 10 万人あたり）の集計結果は表 1 のようであった。各群の平均値の全ての組み合わせに対して対比較を行いなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母平均値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母平均値に差がある（母平均の組の少なくとも一つで等号が成り立たない）」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う。

2. 誤差分散 $V_{w}$（一元配置分散分析における群内平均平方と同じ）を計算する。

3. 全ての $2$ 群の組み合わせについて検定統計量を計算する。
   第 $i$ 群と第 $j$ 群（$i \lt j$）の平均値をそれぞれ $\bar{X}_{i}$，$\bar{X}_{j}$，サンプルサイズを $n_i$，$n_j$ とすると，検定統計量 $t_{ij}$ は次の式で計算される。
   \[ t_{ij} = \frac{\left | \bar{X}_i-\bar{X}_j \right |} {\sqrt{V_w \displaystyle \left ( \displaystyle \frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j} \right ) }} \]
4. “ステューデント化した範囲の表”（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.01$）から，「群の数」が $k$，自由度 $\nu$（誤差分散 $V_{w}$ に対応する自由度。すなわち，一元配置分散分析における群内平均平方の自由度と同じ）に対応する数値を読みとり，この値を $q(k, \nu, \alpha)$ とする。

   なお，対応する自由度が表にない場合には，もよりの $2$ 個の自由度に対する値から自由度の逆数補間で求める。

5. 比較する群間に平均値の差があるかどうか判断する。
   • $t_{ij} \lt q(k, \nu, \alpha)\ /\sqrt{2}$ のとき，帰無仮説を保留する。「群 $i$ と群 $j$ の母平均値に差があるとはいえない」。
   • $t_{ij} \geqq q(k, \nu, \alpha)\ / \sqrt{2}$ のとき，帰無仮説を棄却する。「群 $i$ と群 $j$ の母平均値に差がある」。

Games-Howell 法は，検定手順の 3 において，$t$ 統計量と自由度は以下の式で計算する。
\[ t_{ij} = \frac{\left | \bar{X}_i-\bar{X}_j \right |}{\sqrt{\displaystyle \frac{U_i}{n_i}+\frac{U_j}{n_j} }} \] \[ df_{ij} = \frac{\left ( \displaystyle \frac{U_i}{n_i}+\frac{U_j}{n_j} \right )^2} {\displaystyle\frac{U_i^2}{n_i^2\ (n_i-1)}+\frac{U_j^2}{n_j^2\ (n_j-1)}} \] 　この $t$ 統計量を $\sqrt{2}$ 倍したものは，「群の数が $k$，自由度 $df_{ij}$ のステューデント化した範囲の分布」に従う。 例えば R では，ptukey 関数で有意確率を計算できる（Tukey の方法の $t$ 統計量からも，自由度が $\nu$ として，有意確率を計算できる）。

例題の解：

1. 誤差分散 $V_{w} = \displaystyle \frac { (8-1)\times 19.56^{2}+(11-1)\times 12.28^{2}+(22-1)\times 15.01^{2}+(6-1)\times 9.81^{2} } {47-4} = \frac{9406.8433}{43} = 218.7638$。
   対応する自由度 $\nu$ は $47-4 = 43$。

2. 検定統計量 $t_{ij}$ は以下の通り。

   表 2．47 都道府県における癌死亡率に対するテューキーの方法による検定統計量

   $j$＼$i$	第 1 群	第 2 群	第 3 群
   第 2 群	3.588*
   第 3 群	6.963*	3.270*
   第 4 群	6.593*	3.673*	1.425

3. 群の数（$k$）$= 4$，$\nu = 43$ のときの $q(k, \nu, \alpha) = 3.779$ は，“ステューデント化した範囲の表”（$\alpha = 0.05$）にないので，補間する。
   $\nu_{b} = 43$，$\nu_{a} = 40$，$\nu_{c} = 60$，$a = 3.79$，$c = 3.74$ として，逆数補間 により，$\nu_{b} = 43$ のときの $q(k, \nu, \alpha)$ は $3.779534884$ である。
   R で直接求めると以下のようになる。

   > qtukey(0.95, 4, 43)
   [1] 3.779376

4. $q(k, \nu, \alpha)\ /\ \sqrt{2} = 2.672534746$ と表の検定統計量を比較する。有意な差が認められるものに * をつけておく。

> ptukey(3.588*sqrt(2), 4, 43, lower.tail=FALSE)
[1] 0.004538206

> ptukey(3.139938*sqrt(2), 4, 10.94674, lower.tail=FALSE)
[1] 0.04041523

演習問題：

応用問題：