図 13 に示すように，投与された化学物質は活性化された後除去されるという 2 段階のパスがあるとする。

図 13．Rai and Van Ryzin のモデル

　各段階の移行 $T_i$ は（ 36 ）式の Michaelis - Menten kinetics に従う。

\[ Rate(T_i) = \frac{b_i\ D_i\,(t)}{c_i+D_i\,(t)}\ \ ,　b_i，c_i \gt 0\ (i=1, 2) \tag{36} \] 　化学物質が定常的に投与される場合には（ 37 ），（ 38 ）式のような微分方程式が成立する。

\[ \begin{align*} \frac{dD_1\,(t)}{dt} = k-\frac{b_1\ D_1\,(t)}{c_1+D_1\,(t)} \tag{37} \\[5pt] \frac{dD_2\,(t)}{dt} = \frac{b_1\ D_1\,(t)}{c_1+D_1\,(t)}-\frac{b_2\ D_2\,(t)}{c_2+D_2\,(t)} \tag{38} \end{align*} \] 　定常状態では $d\,D_i\,( t )\ /\ dt = 0$ となり，有効用量 $D_2^*$ は （ 39 ）式のように表される。

\[ \begin{align*} D_2^* & = \displaystyle \frac{a_1\ D_1\,(t)}{1+a_2\ D_1\,(t)} \\[5pt] & a_1 = \displaystyle \frac{b_1\ c_2}{b_2\ c_1} \gt 0 \\[5pt] & a_2 = \displaystyle \frac{b_2-b_1}{b_2\ c_1} \gt -\frac{1}{M} \end{align*} \tag{39} \]

　もし活性化と除去がリニアならば，$a_2 = 0$ となり，有効用量 $D_2^*$ は投与量 $D = D_1\,( t )$ に比例する。

　発癌率が定常状態での有効用量 $D_2^*$ にのみ依存するとすれば，（ 40 ）式のように表せる。

\[ P(D) = F \left [ D_2^*\,(D) \right ] \tag{40} \] 　ここで f として自然発癌率を考慮した（ 41 ）式のワンヒットモデルを考えると，発癌率は（ 42 ）のように表せる。

\[ \begin{align*} f(x) & = 1-\exp(-\alpha-\beta\ x) \tag{41} \\[5pt] P(D) & = 1-\exp\left\{-\theta_1+\theta_2\left(\frac{D}{1+\theta_3\ D}\right) \right\} \tag{42} \\[5pt] & \theta_1 = \alpha \gt 0,　\theta_2 = \beta\ a_1 \gt 0,　\theta_3 = a_2 \gt -\displaystyle \frac{1}{M} \end{align*} \] 　このモデルも，基礎にしたのがワンヒットモデルの場合であっても，活性化と除去のステップに飽和が生ずる場合にはさまざまな用量 - 反応関係を記述できる。

　彼らは $f ( x )$ としてさらに複雑なモデル（ 43 ）式を考えた。追加されたパラメータにより，（ 44 ）式のように更に広範な用量 - 反応関係を記述できる。

\[ \begin{align*} f(x) & = 1-\exp(-\alpha-\beta\ x^\gamma) \tag{41} \\[5pt] P(D) & = 1-\exp\left\{-\theta_1+\theta_2\left(\frac{D}{1+\theta_3\ D}\right)^\gamma \right\} \tag{42} \\[5pt] & \theta_1 = \alpha \gt 0,　\theta_2 = \beta\ a_1 \gt 0,　\theta_3 = a_2 \gt -\displaystyle \frac{1}{M} \end{align*} \] 　これらのモデルは，Cornfield，Gehring のモデルと異なり，薬動力学的パラメータは潜在的に仮定されているだけであり，$\theta_1$，$\theta_2$，$\theta_3$，$\gamma$ は最尤法によって直接推定できる（ パラメータには制約条件がある ）。