「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 048

No.22010　母平均の区間推定における標準正規分布表の利用について　　【hase】　2016/05/17(Tue) 12:57

青木先生・皆様

統計学を勉強し直しているhaseと申します．

母平均の区間推定における標準正規分布表の利用についてご教示下さい．
なお，手元の教科書付属の正規分布表にはPr(0 ≦ z)の値が小数第4位まで載っております．

99％信頼区間（＝有意水準0.01）のとき，0.99 = 0.4950 * 2ということで，表中の0.4950に対応するzを探したところ，0.4950丁度はなく，0.4949（z=2.57）と0.4951（z=2.58）の2つが最も近い値として見つかりました．

Rでqnorm(0.005, lower.tail=FALSE)とすると，2.575829となることから，より値の近い0.4951（z=2.58）を使うべきでしょうか？

それとも，
0.4951（z=2.58）では区間推定した母平均が過大な推定値となることから，0.4949（z=2.57）を使うべきでしょうか？

この例に限らず，信頼区間から出てくる（0.4950に相当する）値に最も近い表中の値を用いるべきなのか，それとも，その値以下の最も大きい値を用いるべきなのか，統計学としてはどちらの考え方が正しいのでしょうか？

※以下のURLでの議論のように，精度の良い正規分布表を使う，あるいはRなどコンピュータを使って計算することが出来ない場合での疑問です．
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc033/06569.html

以上，よろしくお願いいたします．

No.22011　Re: 母平均の区間推定における標準正規分布表の利用について　　【太郎】　2016/05/17(Tue) 16:41

「正規分布表」，「補間」でググるとこの答えに近いものがでてきました。

No.22012　Re: 母平均の区間推定における標準正規分布表の利用について　　【hase】　2016/05/17(Tue) 18:49

太郎さん，ありがとうございます．

滋賀大学の熊澤先生の資料で線形補間法についてはよく分かりました（昔習ったような気もします）．
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/kumazawa/toukeigaku/06/0623k.pdf
線形補間法の結果は0.2575となるので，qnorm(0.005, lower.tail=FALSE)から求めた2.575829と比較しても，過大ではありません．
ただ，線形補間には過大推計の可能性があるので，少し怖い気もします．

一方，
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1233951557
のscairflaimさんの回答にある，
> 表にはP(X<x)≦0.1になる値がないときは，0.1より小さい方の（以下なので，大きくなってはいけない）0.1に近い値を選んでもほぼ問題ないです。なぜなら0.1以下なら条件を満たすし，0.1との差はすごく小さいので，確率に出てくる影響は小さいのでその差は無視できるからです。
> そもそも表を使いなさいと言われたら，そこまでの精度は求められていません。
という考え方なら，少なくとも過大推計とはなりません．

どちらの（あるいは別の）考え方が適切なのでしょうか？
引き続きご教示いただければ幸いです．

No.22013　Re: 母平均の区間推定における標準正規分布表の利用について　　【hase】　2016/05/18(Wed) 10:05

> どちらの（あるいは別の）考え方が適切なのでしょうか？
この記述が分かりづらいので補足いたします．

1．線形補間法が一般に使われることは分かりましたが，過大推計の恐れがあるように思います．これは気にしないで良いものでしょうか？

2．scairflaimさんの回答の考え方は，適切なものでしょうか？

3．もし，1．と2．どちらも選択できる場合は，どちらを取るのが適切なのでしょうか？

4．あるいは，他により適切な方法があるのでしょうか？

No.22014　Re: 母平均の区間推定における標準正規分布表の利用について　　【青木繁伸】　2016/05/19(Thu) 11:00

実際問題として，母分散が既知と（仮定）した時点で推計値の精度は落ちているわけで，Z=2.57, 2.58 のいずれを取るとしても，標準誤差（σ/√n）の 0.39 % ほどしか推計値の違いはないわけで，どっちをとっても過大推計・過少推計の問題は生じないでしょう。
試験やレポートの場合であっても，どちらに基づいて答えを書いても○になると思いますが。