「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 046

No.20699　χ2乗分布と検定　　【ひろくに】　2013/12/27(Fri) 12:14

χ2乗分布を調べると， Z=Σ((Xi-μi)/σi）^2 (1)
χ2乗検定を調べると，χ2=Σ(O-E)^2/E (2)
と書かれています。
式(1)と(2)がよく似ていて，関連しているようなのですが，式(1)から式(2)が導出されるのでしょうか？
この(2)つの式の関連がわかりましたら，解説URL等をお教え下さい。

(1) http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%88%86%E5%B8%83
(2) http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%A4%9C%E5%AE%9A

No.20703　Re: χ2乗分布と検定　　【青木繁伸】　2013/12/27(Fri) 15:42

丸付き数字は使うなと...

二項分布を正規分布で近似することを考える
赤玉と白玉が p1，p2(=1-p1) の割合で混ざっている
玉を取り出して色を確認後戻すという実験を n 回行う
赤玉と白玉が n1，n2(=n-n1) 個であった

適合度の検定
赤玉，白玉の期待値は n*p1，n*p2
カイ二乗値 = (n1-n*p1)^2/(n*p1) + (n2-n*p2)^2/(n*p2)
= (n1-n*p1)^2/(n*p1) + (n-n1-n*(1-p1))^2/(n*(1-p1))
= (n1-n*p1)^2/(n*p1) + (-n1+n*p1)^2/(n*(1-p1))
= ((1-p1)*(n1-n*p1)^2 + p1*(n1-n*p1)^2) / (n*p1*(1-p1))
= (n1-n*p1)^2 / (n*p1*(1-p1))
カイ二乗値の平方根をとると
(n1-n*p1) / sqrt(n*p1*(1-p1))
更に，分子・分母を n で割ってやると
(n1/n-p1) / sqrt(p1*(1-p1)/n)
これは，標準得点 Z であり，正規分布で近似する母比率の検定であるということ

他の「カイ二乗検定」も比率をどう決めるか（決まるか）が違うが，考え方は同じ。

No.20704　Re: χ2乗分布と検定　　【青木繁伸】　2013/12/27(Fri) 16:08

数式部分がわかりにくいので LaTeX で

画像をクリックすると拡大表示

No.20706　Re: χ2乗分布と検定　　【ひろくに】　2013/12/27(Fri) 16:44

青木先生

ありがとうございます。

私の質問の最初の式がZ=で書かれているので，少し混乱しております。
たしか，2項分布の分散が n*p1*(1-p1)になるということですね。

ありがとうございました。

ひろくに