「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 046

No.20229　分散を出すために不偏推定量で割る理由　　【初学者】　2013/09/11(Wed) 23:47

分散を出す際に標本数nで割るのではなく，自由度n-1（不偏推定量）で割る理由がいまいちわかりません。分散を出す際に平均値ȳを母数のデータから推定するためn-1になることは理解できたのですが，そもそもなぜ平方和を標本数ではなく自由度で割らなければならないのでしょうか？

かなり初歩的な質問になりますがよろしくお願いします。

No.20230　Re: 分散を出すために不偏推定量で割る理由　　【TY】　2013/09/12(Thu) 10:56

不偏性をもつ分散の推定量にするためです。

不偏推定量と書かれているので，不偏性については理解されているものとします。

平方和をnで割った分散の期待値を求めてみて，それが母分散σ^2に対してどのようになっているかを自分で計算してみてください。
ちなみに計算が正しければ{(n-1)/n} * σ^2 という結果になるはずです。

なお，「不偏推定量で割る」と書かれているのでもしかしたら用語の理解ができていないのかもしれません。平方和をn-1で割った分散の推定量が不偏推定量になっている，ということです。n-1は不偏推定量ではありません。

No.20234　Re: 分散を出すために不偏推定量で割る理由　　【波音】　2013/09/15(Sun) 10:42

概念的な説明をするならば，分散を推定する際には平均値を推定しているからです。

自由度は1つの母数（パラメータ）を推定するたびに「1つの自由度を失い」ます。

もし母平均が分かっている場合（現実にはそのようなことはあり得ませんが），平均値を推定する必要がないので，nで割ってもよいのです。n-1で割るということは，母平均を推定して自由度を1つ失っているためです。

　※平方和を計算するためには平均値が必要で，その平均値は推定値である。