「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 042

No.08549　主成分分析　　【きみか】　2008/12/08(Mon) 15:29

先生の作られたpca(http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/pca.html)という主成分分析を行なう関数についての質問です。

データを標準化したのちに，pcaを使用して主成分分析を行ないました。
データを標準化したにも関わらず，データの標準偏差が1以上になってしまいました。

使用したデータでは，分母がnの標準偏差を用いて，標準化を行ないました。分母がn-1として標準化を行なった方が良いのでしょうか。

また，prcompを用いて計算した主成分の係数とpcaを用いて計算した主成分の係数が異なります。計算方法が違うのでしょうか。

お手数をおかけ致しますが，教えて頂けないでしょうか。
お返事をお待ちしております。
よろしくお願い致します。

No.08555　Re: 主成分分析　　【青木繁伸】　2008/12/08(Mon) 16:52

標準化したのに標準偏差が1にならないのは，標準化の時と標準偏差を求めるときの分母（nかn-1か）が不一致のためです。単位を揃えるという観点からは，標準化の際にnで割るか，n-1で割るかはどちらでも良いです。

> prcompを用いて計算した主成分の係数とpcaを用いて計算した主成分の係数が異なります。計算方法が違うのでしょうか。

そのページに，「しかし，これらが返す「loadings」は固有ベクトルそのものであって，いわゆる負荷量ではない。」と書いてありますね。

prcomp は重み（固有ベクトル）を表示しますね。pca は主成分負荷量を表示します。

> set.seed(123)
> x <- scale(matrix(rnorm(30), 10))            # 列ごとに標準化します
> colMeans(x)                                  # 列の平均値
[1] -6.505213e-17 -3.469447e-17  3.330669e-17  # 実質0です
> sd(x)                                        # 標準偏差
[1] 1 1 1                                      # 1です
> r <- cor(x)                                  # 相関係数行列
> eigen(r)                                     # 相関係数行列の固有値・固有ベクトル
$values                                        # 固有値
[1] 2.0376621 0.5941719 0.3681659

$vectors                                       # 固有ベクトル
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,]  0.5596713 0.69413342  0.4527105
[2,]  0.6151534 0.01806984 -0.7882003
[3,] -0.5552966 0.71961954 -0.4168854

> prcomp(x)                                    # xは標準化済み
Standard deviations:                           # 固有値の平方根
[1] 1.4274670 0.7708255 0.6067668

Rotation:                                      # 重み
            PC1         PC2        PC3
[1,]  0.5596713 -0.69413342 -0.4527105
[2,]  0.6151534 -0.01806984  0.7882003
[3,] -0.5552966 -0.71961954  0.4168854
> pca(x)$factor.loadings                       # pcaによる主成分負荷量
            PC 1       PC 2       PC 3
Var-1  0.7989123 0.53505572  0.2746897
Var-2  0.8781112 0.01392869 -0.4782538
Var-3 -0.7926676 0.55470107 -0.2529522
> prcomp2(x, pcs=3)                            # prcompから，主成分負荷量を求める
                     PC1     PC2     PC3 Contribution
Var.1              0.799  -0.535  -0.275     1.000
Var.2              0.878  -0.014   0.478     1.000
Var.3             -0.793  -0.555   0.253     1.000
Eigen.values       2.038   0.594   0.368
Proportion        67.922  19.806  12.272
Cumulative.prop.  67.922  87.728 100.000

No.08560　Re: 主成分分析　　【きみか】　2008/12/08(Mon) 18:39

早速のお返事ありがとうございます。
よくわかりました。
解説して頂き，ありがとうございました。