「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.06533　一元配置分散分析　　【初心者】　2008/05/11(Sun) 15:29

一元配置の分散分析についてお尋ねします。
一元配置の分散分析をエクセルで実施すると，グループ間の分散とグループ内の分散が計算できると思います。この時グループ間の分散にはグループ内の分散も含まれていると思います。
つまり
(1) グループ間の分散＝グループ内の標準偏差＾2＋n×グループ間の標準偏差＾2
(2) グループ内の分散＝グループ内の標準偏差＾2
上記 (1) と (2) が成り立つと思うのですが，グループ間の分散よりもグループ内の分散の方が大きくなった場合はどのように考えればよいのでしょうか？
グループ間の標準偏差を求めたいのですが，理解できません。
よろしくお願いします。

No.06534　Re: 一元配置分散分析　　【青木繁伸】　2008/05/11(Sun) 17:24

> この時グループ間の分散にはグループ内の分散も含まれていると思います

含まれていませんよ。一元配置分散分析の原理（計算方法）を見直してください。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Average/oneway-ANOVA.html

No.06535　Re: 一元配置分散分析　　【初心者】　2008/05/11(Sun) 18:46

早速の回答ありがとうございます。
計算方法をみると確かにおっしゃる通りだと理解しました。
ただ以前，分散は期待値を意味しており前記した（1）と（2）の式が成り立つと教えられたもので・・。
何か勘違いをしているのかもしれません。
もう一度考えてみます。

No.06536　Re: 一元配置分散分析　　【青木繁伸】　2008/05/11(Sun) 21:34

> （1）と（2）の式が成り立つと教えられたもので・・。

記憶間違いでしょうね。いつも，正しい記述を参照すべきです。

No.06539　Re: 一元配置分散分析　　【おちょぼ】　2008/05/11(Sun) 23:56

初心者さんのおっしゃっていることに誤りはないと思います・・・
グループ間の分散が小さいとき，偶然，そのような結果になりえます。
標本が小さすぎることが原因でしょう。

とは言うものの，自信がないので，根拠とした書籍を紹介しておきます。
統計的方法第6版（スネデカーコクラン）　p270～271

No.06541　Re: 一元配置分散分析　　【birei】　2008/05/12(Mon) 00:41

ピタゴラスの定理の事を言ってるのでは？
線形判別等でも使う
全平方和＝群間平方和＋郡内平方和　これに条件無し思いますが…
グループ内が大きい問題は別種の問題と思いますが。

No.06542　Re: 一元配置分散分析　　【健常成人男子】　2008/05/12(Mon) 08:23

初心者さんが示したグループ間とグループ内の分散の右辺の式は期待値ですので，数学的に＝で表現して連立方程式を解くと，グループ間の標準偏差がマイナスになる場合があります。このような場合はグループ間の標準偏差をゼロとするのではないでしょうか。

No.06543　Re: 一元配置分散分析　　【kai】　2008/05/12(Mon) 10:47

分散分析表で平方和を自由度で割った値は現在［平均平方］という名前にほぼ統一されかかっていますでの，分散という表現はやめた方がいいでしょうね．誤差の平均平方［EXCELではグループ内の分散］以外は複数の分散の期待値の合成値になっていますので．

それはさておいて，グループ間の分散の期待値が0より小さくなる場合は，グループ内の分散より無視出来るほど小さい（＝0）と見なすると言う事でよいと思います．ただし，これら分散の期待値は平均値よりも精度が悪いので，データ数が少ない場合はあまりあてにできません．

No.06544　Re: 一元配置分散分析　　【takahashi】　2008/05/12(Mon) 11:56

グループ間の分散(変動っていうのがいいんですかね)が0より小さくなるというのは，どういう状況でしょうか。定義上，ありえないような気がするんですが・・・
各グループの平均が全て一致していたら分散0で，これが最小ではないですか?

No.06546　Re: 一元配置分散分析　　【kai】　2008/05/12(Mon) 13:54

グループ間の分散の期待値が0より小さくなる現象は定義として分散は標準偏差の2乗なのであり得ない事のように思えますが，ここで計算される値は“推定値”（＝計算上の値）なので，負の値もとりうるのです．
バラツキは平均値と比較して推定精度が低いので，分散の推定値が負の値になってしまうことは良くあることです．

算術計算でグループ間の分散を推定する方法（EMS法）では負の値になる場合は0として考えるというのが一つの手です．
REML法では負になる場合に0に固定して再計算させる方法などもあります．

No.06547　Re: 一元配置分散分析　　【知ったかぶり】　2008/05/12(Mon) 16:09

Kaiさんが言われているのは，変量効果を含む線形混合モデルなどの場合ではありませんか？一元配置分散分析では，分散は(群間であれ，群内であれ)偏差平方和に基づいて算出されますから，負の値をとることはありえません．

No.06548　Re: 一元配置分散分析　　【kai】　2008/05/12(Mon) 16:37

知ったかぶりさんの言われる通りです．混乱させてしまったら申し訳ありません．

一元配置の分散分析で出力される値は平均平方（＝平方和／自由度）であり，その値から初心者さんの書き込みにある

(1) グループ間の分散＝グループ内の標準偏差＾2＋n×グループ間の標準偏差＾2

の式で計算される値（グループ間の標準偏差＾2）は分散（の期待値）として回答しています．
(1) の式で計算される分散は0より小さくなる可能性があります．
平均平方は0より小さくなる事はありません（最低でも0です）．

最近の統計解析ソフトでは平均平方の事を分散と出力するものはないと思います．なぜなら，平方和と自由度で割った値は誤差の平均平方を除くと分散ではなく，複数の分散が合成された値だからです．

No.06553　Re: 一元配置分散分析　　【初心者】　2008/05/13(Tue) 09:35

皆様，色々なご意見ありがとうございます。
実は測定における不確かさを計算する時に一元配置の分散分析を利用すると上記式 (1) と (2) の考え方からグループ間，グループ内のそれぞれの標準偏差を求めるのだと講習会等で教えていただきました。
しかし分析結果が「グループ間の分散＜グループ内の分散」では，グループ内の標準偏差が負の値（虚数）になってしまい，このような場合はどう考えるのかが分かりませんでした。
おちょぼ様に教えていただいた本を探して見たいと思います。