「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---026

★ 分布族 ★

865.　分布族　わだあつと　2003/10/22 (水) 18:03
└878.　Re: 分布族　TY (元ROM)　2003/10/23 (木) 19:09
　├884.　Re^2: 分布族　元サムライ名物学生　2003/10/26 (日) 08:03
　│└904.　Re^3: 分布族　TY　2003/10/28 (火) 13:34
　│　└909.　Re^4: 分布族　元サムライ名物学生　2003/10/29 (水) 10:46
　│　　└920.　Re^5: 分布族　TY　2003/10/30 (木) 20:13
　└879.　Re^2: 分布族　わだあつと　2003/10/24 (金) 10:44

865.　分布族　わだあつと　　2003/10/22 (水) 18:03

統計の教本を読んでいたら，「2項分布は単独の分布でなく分布族である」と出てきました。「単独の分布」とはなんでしょうか？また「分布族」とはなんでしょうか？どなたかご教示ください。

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878.　Re: 分布族　TY (元ROM)　　2003/10/23 (木) 19:09

二項分布にはn (例えばコインを投げる回数) とpi (例えばコインが表になる確率) というパラメータがあり，それらを変えることで無数の分布がありうる，ということです。すなわち，単独ではない。
一方，パラメータが違うだけなので，仲間 (ファミリー) と考えられます。これが「分布族」ということです。

これでよろしいでしょうか。

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884.　Re^2: 分布族　元サムライ名物学生　　2003/10/26 (日) 08:03

日本の統計学や統計用語についてはよくわかりませんが，私が想像するに「分布族」というのは，2項分布の場合，ベルヌーイ試行の成功回数を数えたものが2項分布であり，ベルヌーイ試行の成功した番目の数を数えたものが幾何分布であるように，一方から他方を作れるような関係があるものではないでしょうか？同様にして，指数分布を足し合わせるとErlang分布になりますから，それらも同じ仲間と言えるでしょう。

パラメータを変えたら分布が異なるのが「分布族」という説明はいささか誤解を与える見解ではないでしょうか？通常分布は，標準正規分布などは除き，それらにパラメータは付属しているのですから。

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904.　Re^3: 分布族　TY　　2003/10/28 (火) 13:34

正規分布はパラメータを与えない限り一意に定まりません。そのため，正規分布も分布の集合になっていると理解しています。

確かに，大きく捉えれば，正規分布も二項分布も全て「指数分布族」と考えられますが，元の投稿にあったテキストの文脈からは外れているように思われます。

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909.　Re^4: 分布族　元サムライ名物学生　　2003/10/29 (水) 10:46

パラメータによって一意的に分布が決まるかどうか，そして正規分布の話は明らかに間違いです。また，私が話をしていたのは「標準」正規分布の話です。

ご質問の出発点に戻って，これを仮に「指数型分布族」の話に限定しますと，この指数型分布族の仲間としましては，
（パラメータθがスカラーのケース）
2項分布
ポアソン分布
幾何分布
（パラメータθがベクトルのケース）
正規分布
ガンマ分布

などがあります。したがって，初級の統計学やその関連分野の書物ででてくる「指数型分布族」を考えるとき，私が最初に説明しましたように2項分布や幾何分布は1つの仲間です。もう少し，厳密な話をしてキュミュラント関数を定めて，そのパラメータθがスカラーだけでなく，ベクトルまで拡張すると，正規分布なども含まれることになります。そこまで，その書物の話が及ぶレベルのものなのか，そしてその文脈によってもかわりますが，「分布族」の話を「指数型」に限定すると

f(x)＝exp(A(θ）B（x）＋C(x)＋D(θ)）

という密度関数で表されるとき，その分布は厳密には「指数型分布族」と呼ばれます。しかしながら，私にはそこまでの厳密な議論を指して「分布族」と言っているのではないような気がしてなりません。ですから，最初に私があげた関係をお示しした次第です。

　繰り返しますが，通常の分布のパラメータと一意性の関係は，「族」の話にはおそらく何の関係もありませんし，統計学ではそのような問題には関心がないように思われます。もし，厳密にパラメータの話をするならば，上の密度関数およびキュミュラント関数のθによって定義されると考えるのが自然です。

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920.　Re^5: 分布族　TY　　2003/10/30 (木) 20:13

わだあつと様

というわけで，Google等で"分布族"をキーワードにして検索してみることをお勧めします。

サムライ様

用語の使い方は難しいです。しかし，FamilyもClassもSetも集合の意味に使われることがあるので，「明らかに間違い」というほど的を外してはいないと思うのですが。

以下，いいわけですが，
1. 統計学のユーザーとして，分布は正規分布や二項分布としておいて，そのパラメータを推測することを主要な使い方としていることが当方の考え方の一因になっているようです。

2. なお，「指数分布族」と書いている本もありました(私が遭遇したのはドブソンの一般化線形モデル入門の訳本)。しかし，ご指摘のとおり「指数型分布族」が正統のようです。

お騒がせしました。

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879.　Re^2: 分布族　わだあつと　　2003/10/24 (金) 10:44

「単独の分布」と「分布族」が理解できました。
TY様，ありがとうございました。

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