「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---018

★ 基本的なことですが，， ★

　270　基本的なことですが，，　　UNI　　2002/03/10 (日) 23:42
　　280　Re: 基本的なことですが，，　　Γ→Δ　　2002/03/12 (火) 14:05
　　　281　Re^3: 基本的なことですが，，　　UNI　　2002/03/12 (火) 14:53
　　274　Re: 基本的なことですが，，　　UNI　　2002/03/11 (月) 13:43
　　272　Re: 基本的なことですが，，　　名無しさん　　2002/03/11 (月) 11:36
　　271　Re: 基本的なことですが，，　　通りすがり　　2002/03/11 (月) 08:49

270.　基本的なことですが，，　　UNI　　2002/03/10 (日) 23:42

物凄く，常識なことなのかもしれませんが，どなたかお教え戴ければ幸いです。
普通の正規分布N(u,s)を，Z=(X-u)/sと置いたら，ZはN(0,1)の標準化正規分布になるのは
ここのホームページでも書かれていることなんですが，
もともとのf(x)=(1/2*root(p)*s)exp(・・)
を上記のように，Zで置き換えると
f(z)=(1/2*root(p)*s)exp(-Z^2/2)となるとおもうのですが，何故か前項の分母のsが消えて
f(z)=(1/2*root(p))exp(-Z^2/2)とどの教科書見ても書かれています（当然ですが）
このsはどこへいったのでしょうか，それともZへ変換するということはこういうことをするという
事ではないということなのでしょうか?
ちなみに，root(p)とは円周率の根，sとは標準偏差のつもりです。

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280.　Re: 基本的なことですが，，　　Γ→Δ　　2002/03/12 (火) 14:05

p.d.f. の変数変換の意味を私は理解できないので，確率変数の変数変換に戻って考えることにします。(もっと簡潔な説明があるのかもしれませんが)
X～N(u,s), f(x)={1/{(√2π)s)}exp{-(1/2)((x-u)/s)^2} …確率変数Xのp.d.f.
としたとき，
確率変数Y=(X-u)/s のp.d.f. g(y)を求めます。
XおよびYのc.d.f. をそれぞれ，F(x),G(y)とすると，
G(y)=P{Y≦y}=P{(X-u)/s≦y}=P{(X-u)≦sy}=P{X≦sy+u}=F(sy+u)
従って，
g(y)=(d/dy)G(y)=(d/dy)F(sy+u)=f(sy+u)・s
s・{1/{(√2π)s)}exp{-(1/2)((sy+u -u)/s)^2}
={1/(√2π)}exp{-(1/2)y)^2
これはN(0,1)のp.d.f. です。

Yが正規分布に従うことを知っていれば，
E(Y)=E((X-u)/s)={E(X)-u}/s=)={u-u}/s=0
V(Y)=V((X-u)/s)={V(X-u)}/(s^2)={V(X)}/(s^2)=(s^2)/(s^2)=1
としてもよいでしょう。

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281.　Re^3: 基本的なことですが，，　　UNI　　2002/03/12 (火) 14:53

　 Γ→Δさんへ
なるほど～，です。とりあえずは，c.d.fにもどって，つまりは全確率1というところから
始めることによって，導き出しているというわけですね。よくわかりました。
ありがとうございました。

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274.　Re: 基本的なことですが，，　　UNI　　2002/03/11 (月) 13:43

通りすがりさん，名無しさん，早速のコメントどうもです。
通りすがりさんへ
　Jacobianの問題ですか，，，むーずかしそうですね。勉強します。
名無しさんへ
　expの前の定数は面積を1に調整するものとのことですが，
そういう任意のものということですね。たとえば，z=(x-u)/sと
変換せずに，z=(2*x-u)/s^2なんて適当に変換しても
一応全確率は1という定義の元，そうなるように調整される
ものということなんですね。
ちょっとは，胸のつかえがとれました。ありがとうございました。

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272.　Re: 基本的なことですが，，　　名無しさん　　2002/03/11 (月) 11:36

exp の前のごちゃごちゃしているのは定数で，f の積分が1になるように調整するものでしょう。
標準正規分布の場合には標準偏差 = 1 で消えているだけでは?

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271.　Re: 基本的なことですが，，　　通りすがり　　2002/03/11 (月) 08:49

> f(z)=(1/2*root(p))exp(-Z^2/2)とどの教科書見ても書かれています（当然ですが）
> このsはどこへいったのでしょうか，それともZへ変換するということはこういうことをするという
> 事ではないということなのでしょうか?

変数変換つまりJacobianの問題だと思います。|dx/dz|=sをかけるので，分母のsはcancelされ上の式になるはずです。
私もはっきりとは覚えていないので，専門の方のご指導願います。

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