「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---018

★ サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率 ★

241.　サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　発智　　2002/03/05 (火) 10:32

始めまして。発智と申します。

「サイコロを振って相手より大きい数字が出る確率」
の考え方を教えていただきたいと考えて書き込みさせて頂きました。

サイコロを振って相手より大きい数字が出る確率は50%かどうか，というので
友人と話をしていたのですが，
私は
「相手がまだサイコロをふらないないうちは，相手の目は平均値の3.5だと考え
てよいので勝率は4以上が出る確率と同じ50%」
と思っていたのですが，
「サイコロに3.5という目は無いし，仮にあったとしてもこちらが3.5を出した
ときには引き分けなので50%ちょうどということはないだろう」
と言われ，確かにそうだ。と納得してしまいました。

高校1年で数学の勉強は止めてしまっていたので，サイコロを2個，3個，と
振って目を足した時の平均値や，ある目の出る確率の出し方は習ったのですが，
それ以上のことは習っていなかったと記憶しています。

excelの統計関数や数学/三角関数などを使わないのも勿体無いと常々
思っていたこともあり，これらが少しは分かるようになるかもしれない。と考え
書き込みいたしました。

取っ掛かりになる考え方や，代表的な公式などありましたら教えて頂ければと
思います。よろしくお願いいたします。

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242.　Re: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　ひの　　2002/03/05 (火) 11:05

さいころを2回振るときの場合の数は6x6=36通りしかありませんから，全ての場合を書き出して数えてみればお分かりになると思います。

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243.　Re^2: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　発智　　2002/03/05 (火) 12:53

> さいころを2回振るときの場合の数は6x6=36通りしかありませんから，全ての場合を書き出して数えてみればお分かりになると思います。

お返事有難うございます。
とりあえず1個対1個で作った後に，興味本位で2個対2個，3個対3個の表をexcel
で作ってみたのですが，

1個対1個，0.416666667%
2個対2個，0.389660494%
3個対3個，0.001631028%

となってしまいました。こんなにも勝率が変わるものなのでしょうか。

作業としては
(1)
1から6までの数字を1つづつ36回並べた行，
1から6までの数字を6つづつ6回並べた行，
1から6までの数字を36回づづ1回並べた行，
を作って列ごとに列ごとにmaxを使って一番高い目を出して横軸を作る。

(2)
上の結果を"行，列を入れ替えてコピー"して縦軸を作る。

(3)
それぞれの交点に
=if(縦軸の目>横軸の目,1,0)
を置く。

という手順で勝つ結果を抜き出して合計，その後6の9乗で割ってみました。

質問ばかりで恐縮なのですが，上の結果はどうなのでしょう。
あっているのでしょうか。

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276.　Re^3: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　石頭　　2002/03/12 (火) 00:44

> > さいころを2回振るときの場合の数は6x6=36通りしかありませんから，全ての場合を書き出して数えてみればお分かりになると思います。
>
> お返事有難うございます。
> とりあえず1個対1個で作った後に，興味本位で2個対2個，3個対3個の表をexcel
> で作ってみたのですが，
>
> 1個対1個，0.416666667%
> 2個対2個，0.389660494%
> 3個対3個，0.001631028%
>
> となってしまいました。こんなにも勝率が変わるものなのでしょうか。
>
> 何故そのように捻じ曲がった考え方するの，みんな!
サイコロは1/6の確率だよ。あなたと相手で36通り。勝つ時15通り，負ける時15通り，引き分け6通り，15:15:6，サイコロが増えてもそれぞれの持つ組み合わせは，同じなのでこの比率は絶対に変わりません。

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278.　Re^4: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　名無しさん　　2002/03/12 (火) 12:46

> > > > 何故そのように捻じ曲がった考え方するの，みんな!
> サイコロは1/6の確率だよ。あなたと相手で36通り。勝つ時15通り，負ける時15通り，引き分け6通り，15:15:6，サイコロが増えてもそれぞれの持つ組み合わせは，同じなのでこの比率は絶対に変わりません。

極端なことを考えてみればわかるでしょう。
1000万個のサイコロをふって，その中でもっとも大きな目をもって勝負します。
手は双方とも6で引き分けになることは非常に高い確率であることが分かるでしょう。引き分けにならない方が不思議。

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244.　Re^3: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　青木繁伸　　2002/03/05 (火) 14:17

> 3個対3個，0.001631028%
　　　:
> という手順で勝つ結果を抜き出して合計，その後6の9乗で割ってみました。

3個の場合，割るのは6の6乗では?（分子はあってます）

なお，手順はもう少し整理するとよいでしょう。
自分が3個サイコロを振って，そのうちで最高の目を得点としてそれが何回起こるかを理論的にまず考えましょう。
最高が1のとき　3つのサイコロの出目は，1，1，1　これ以外にない　1通り
最高が2のとき　3つのサイコロの出目は，1～2の2通りの3乗，ただし1，1，1を除く　つまり 2^8-1=7
最高が3のとき　3つのサイコロの出目は，1～3の3通りの3乗，ただし，最高が1または2になる場合の数（前項までの和，1+7=8）を除く　つまり 3^3-8=19
同様に考えて，
最高が4のときは，4^3-(1+7+19)=37
最高が5のときは，5^3-(1+7+19+37)=61
最高が6のときは，6^3-(1-7-19-37-61)=91
つづく

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245.　Re^4: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　青木繁伸　　2002/03/05 (火) 14:19

　　　　　　　　　Bの目（回数）
Aの目（回数）1（1）　2（7）　3（19）　4（37）　5（61）　6（91）
1（　1）　　引き分け　　　負け　　　　負け　　　　負け　　　　負け　　　　負け
2（　7）　　　　　7　引き分け　　　　負け　　　　負け　　　　負け　　　　負け
3（19）　　　　19　　133　　引き分け　　　　負け　　　　負け　　　　負け
4（37）　　　　37　　259　　　703　　引き分け　　　　負け　　　　負け
5（61）　　　　61　　427　　1159　　2257　　引き分け　　　　負け
6（91）　　　　91　　637　　1729　　3367　　5551　　引き分け

Aが勝ちになる回数=7+19+37+61+91+133+…+5551=16437

注:Aが5で，Bが3のときは 61×19 通り=1159通りある

こんな風に考えると，紙に書いて電卓をちょっと使うだけで比較的簡単（でもないか）

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247.　Re^5: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　青木繁伸　　2002/03/05 (火) 15:02

R で書いて，楽しませてもらいました。

#互いに n 個のサイコロを振り，最大値を手として，勝つ確率を求める関数 dice <- function(n) { a <- diff((0:6)^n) b <- outer(a,a) sum(b[upper.tri(b)])/6^(2*n) } # 上の関数を使って，互いに1～10個のサイコロを振ったときの勝つ確率を求める ans <- sapply(1:10, dice) names(ans) <- paste("n =", 1:10) ans 答え n=1 n=2 n=3 n=4 0.4166667 0.3896605 0.3523020 0.3149940 n=5 n=6 n=7 n=8 0.2792035 0.2455824 0.2145032 0.1861699 n=9 n=10 0.1606575 0.1379376

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250.　Re^6: サイコロを幾つか振って，相手より大きい数字が出る確率　　発智　　2002/03/06 (水) 09:21

管理者様，お返事ありがとうございました。

なんとなく勝手が掴めたような気になったので，
とりあえず，"^"や"R"（R言語というのがあるのでしょうか）については自分で
これから調べてみたいと思います。

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