「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---016

★ 固有値と相関係数 ★

　105　固有値と相関係数　　nacci　　2001/11/05 (月) 18:07
　　116　Re: 固有値と相関係数　　青木繁伸　　2001/11/06 (火) 13:10
　　109　Re: 固有値と相関係数　　青木繁伸　　2001/11/05 (月) 20:45
　　　113　Re^2: 固有値と相関係数　　あいげんしろうと　　2001/11/06 (火) 08:54

105.　固有値と相関係数　　nacci　　2001/11/05 (月) 18:07

漠然とした質問になって大変申し訳ないのですが、
行列の固有値が高いと相関係数も高くなりますが、
どうして、そうなるのか教えていただきたいのです。

ちなみに私は数量化３類を用いて、解析を行っております。

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116.　Re: 固有値と相関係数　　青木繁伸　　2001/11/06 (火) 13:10

第一固有値をλとすると，相関係数行列の対角成分を１－λとした行列の行列式が０になるという方程式（固有方程式）を解くことになります。
2変数の場合ですと，2変数の相関係数をｒとすると
｜　１－λ　　ｒ　　　｜
｜　ｒ　　　　１－λ　｜　＝　０

これは，(1-λ)^2-r^2 = 0 です。
したがって，これを解いて λ＝１±ｒということになります。ｒの絶対値が大きいとλが大きくなりますね。
なお，２つの固有値の和は２になりますので，第一固有値が大きいと，第二固有値は小さくなります。
3変数の場合にも同じですが，方程式を解くのがちょっと難しくなり，
4変数以上の場合には一般に不可能に近いかと...
以上が数学的な説明ですが，満足行かないのではないかと思うわけです。
（理由など知ってもあまり役に立たないと思うわけです）

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109.　Re: 固有値と相関係数　　青木繁伸　　2001/11/05 (月) 20:45

> 行列の固有値が高いと相関係数も高くなりますが、

これは前後が逆で（用語も若干曖昧ですが），
「相関係数の絶対値が大きいものが多い相関係数行列の，第一固有値は大きくなる」ということではないですか？

...とはいっても，そういうものだからそうなるとしか私は理解していませんので，数式で示すというようなことはできません（泣）

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113.　Re^2: 固有値と相関係数　　あいげんしろうと　　2001/11/06 (火) 08:54

数式では分からない・・・．絵で書いたらどうでしょう．幼稚かな？．
２変量散布図を想像しよう．相関０の場合から１の場合を考えよう．相関が０から１へと高くなるに従って，第１固有値は１から２へと上昇する．相関が最低の０の時，第１固有値は最低の１，相関が最大の１の時，第１固有値は最大の２．相関が０から１へと高くなる傾向は，第１固有値が１から２へと高くなる傾向と同一歩調なのです．
２変量の相関（情報の重複）の度合いに応じて，その重複を結晶していくのが固有値．３変量では同じことが空間で起きる．４変量以上は４次元空間以上で同様の固有値問題が作動する．こう考えると，相関が高いと最初の方の固有値が大きくなるという実感が出ませんか？．数学的にはダメですか？．

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