「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---012

　29　最小自乗法の結果の修正は?　　山本　　2000/12/20 (水) 11:07
　　45　Re: 最小自乗法の結果の修正は?　　ひの　　2000/12/21 (木) 00:40

29.　最小自乗法の結果の修正は?　　山本　　2000/12/20 (水) 11:07

最小自乗法で4次式（x = Ay^4 + By^3 + Cy^2 + Dy）で近似した結果，求まったA,B,C,Dを修正する方法として下記のものを見かけたのですが，根拠が理解できません。4次式以外にもこの修正方法を用いたいので教えてください。

前提として x,yは 0～100 の範囲とし，必ずその両端では x = 0 のとき
y = 0，x = 100 のとき y = 100 のデータが得られるものとします。

その前提で，実際に得られたデータが，例えば x = 0～70 に対するy の値である時，そこから最小自乗法でA～Dの係数を求めます。
次に上記前提に基づき次の方法で y = 0～100 に適用可能な係数 A'～D'に修正していると思われます。

[A～Dの修正]

最初に求まった近似式より試行錯誤で x = 0 となる（x = 0 に近くなる）
y を求める（この y を y0 とする）。
同様に x = 100 となる y を求める（この y を y100 とする）。

R = (y100 - y0)/100 として A～D を修正すると次の A'～D'となる。

A' = R^4 * A
B' = R^3 * (B + 4 * y0 * A)
C' = R^2 * (C + 3 * y0 * B + 6 * y0^2 * A)
D' = R * (D + 2 * y0 * C + 3 * y0^2 * B + 4 * y0^3 * A)

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45.　Re: 最小自乗法の結果の修正は?　　ひの　　2000/12/21 (木) 00:40

お示しの修正法の妥当性は私にはよく分かりませんが，x=100のときy=100なのであれば，元のモデルのパラメータを一つ減らすことが出来ます。
D=1-(10^6*A+10^4*B+100*C) になりますから，
x = Ay^4 + By^3 + Cy^2 +(1-(10^6*A+10^4*B+100*C))y
というモデルに当てはめればゴチャゴチャ後から修正する必要はないでしょう。
もっともこの場合には非線形最小自乗法になると思いますが...。方法はちょっと前にここで話題になりましたが，下記URLをご参照下さい。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/Hanasi/StatTalk/solver.html

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