「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---004

★ 最小値の求め方（再掲） ★

　15　最小値の求め方（再掲）　　you　　1999/11/11 (木) 16:52
　　133　Re: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/27 (土) 13:32
　　25　Re: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/12 (金) 14:39
　　　26　Re^2: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/12 (金) 18:08
　　24　Re: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/12 (金) 14:38

15.　最小値の求め方（再掲）　　you　　1999/11/11 (木) 16:52

青木先生。たびたび申し訳ありません。

先にご説明頂いた最小値を求める概念についてやっています。

例えば，

f(x,y)= (x-3)^2 + (2-y)^2 + (x+y)^2

これをx,yについて偏微分すると

g(x,y) = ∂f(x,y)/∂x = 2x + y = 3
h(x,y) = ∂f(x,y)/∂y = x + 2y = 2

g(x,y)=h(x,y)=0 とし，ヤコビ法でこの方程式を解くと

x=1.33333....... y=0.33333...... に近似する。//

と，ここまではご説明の意味合いが理解できました。

しかしながら，「この逆行列をk(i,j)とすると，ニュートン・ラフソン法は。。。。」　以下の意味合いが今ひとつ理解できません。

度重なる質問で大変失礼とは思いますが，今ひとつお教えの程願えたら幸いです。何卒よろしくお願いいたします。

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133.　Re: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/27 (土) 13:32

関数の形式によっては，導関数を求める必要があるニュートン・ラフソン法は適用しにくい場合もありますので，シンプレックス法についての解説ページを掲載しました。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/LaTeX/LaTeX.html
の中の，「二変数間数の最小値をシンプレックス法で求めるには」という項目です。
pdf, dvi, ps の3種類のファイルで提供しています。

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25.　Re: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/12 (金) 14:39

g(x,y)=4x+2y-6
h(x,y)=2x+4y-4

∂g(x,y)/∂x = 4，∂g(x,y)/∂y = 2
∂h(x,y)/∂x = 2，∂h(x,y)/∂y = 4

J は
4 2
2 4
という定数行列になりますが，一般的にはこれは関数になります。後の発言で別の例を示します。

「逆行列Kを求める」と前に書きましたが，正確に言えば，x,yの増分をΔx,Δyとしたとき，
J11(x,y)× Δx+J12(x,y)×Δy=-g(x,y)
J21(x,y)× Δx+J22(x,y)×Δy=-h(x,y)
の連立方程式を解き，得られるΔx,Δyで解の精度を高めます。
x_n = x_o+Δx
y_n = y_o+Δy

今の例だと,初期値(x,y)=(1,1)とすると
4Δx+2Δy=4・1+2・1-6=0
2Δx+4Δy=2・1+4・1-4=2
を解いて，Δx=0.33333，Δy=-0.66667となり，
x=1+0.33333=1.33333
y=1-0.66667=0.33333
これが改善された解です。
さらに(x,y)=(1.33333,0.33333)を用いて同様の繰り返しを行うと，Δx=0,Δy=0となり収束したことになります（この例題は非線形でないので，一回で収束するのです）

非線形でない場合には解析的に求まるということで，結果としてはyouさんが
> 2x + y = 3
> x + 2y = 2
を解いたのと同じことになります。

一般的な例を次の発言で示しましょう。

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26.　Re^2: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/12 (金) 18:08

「二変数間数の最小値をニュートン・ラフソン法で求めるには」というページを作りました。
上にあるURLをクリック!

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24.　Re: 最小値の求め方（再掲）　　青木繁伸　　1999/11/12 (金) 14:38

>> f(x,y)= (x-3)^2 + (2-y)^2 + (x+y)^2
>
> これをx,yについて偏微分すると
>
> g(x,y) = ∂f(x,y)/∂x = 2x + y = 3
> h(x,y) = ∂f(x,y)/∂y = x + 2y = 2
>
> g(x,y)=h(x,y)=0 とし，ヤコビ法でこの方程式を解くと
>
> x=1.33333....... y=0.33333...... に近似する。//

ヤコビ法で連立方程式を解くのではなく，ヤコビ行列をまず求めるということです
つづく

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